2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.3.1 正弦函数的图象与性质 第1课

第一章基本初等函数(Ⅱ)1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质第一课时正弦函数的图象与性质自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．能正确使用“五点法”“几何法”和“图象变换法”作出正弦函数的图象，掌握“五点法”作图的技巧．2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.1．五点法作图正弦曲线y＝sinx，x∈R上五个关键点为__________________________．“五点法”作正弦函数的图象时，要注意图象的对称性和凸凹方向及在x＝0，π，2π附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在x＝π2，3π2附近函数变化慢一些，曲线变得“平缓”．(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)2．正弦函数的周期性(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个，使得定义域内的每一个x值，都满足，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期的定义对于一个函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个，那么这个就叫做它的最小正周期．非零常数Tf(x＋T)＝f(x)周期最小的正数最小正数3．正弦函数的图象和性质函数y＝sinx图象定义域值域奇偶性周期性最小正周期：(－∞，＋∞)[－1,1]奇函数2π单调性在________________________上递增；在________________________上递减最值x＝时，y最大值＝1；x＝时，y最小值＝－1对称中心：对称性对称轴l：x＝____________2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)2kπ＋π2(k∈Z)2kπ－π2(k∈Z)(kπ，0)(k∈Z)kπ＋π2(k∈Z)1．y＝2sinx的值域是()A．[－1,1]B.[0,2]C．[－2,0]D.[－2,2]答案：D2．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2交点的个数是()A．0B.1C．2D.3解析：y＝1＋sinx的图象如图所示，可知与y＝2有1个交点，故选B.答案：B3．y＝sinx与y＝sin(－x)的图象关于________对称．答案：x轴，y轴典例精析规律总结课堂互动探究五点法作图类型1作出函数y＝－sinx，x∈[－π，π]的简图，并完成下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①y＞0；②y＜0.(2)直线y＝12与y＝－sinx的图象有几个交点．【分析】因为要作函数的简图，所以采用五点法，根据自变量的取值范围，这五点应是(－π，0)，－π2，1，(0,0)，π2，－1，(π，0)，要找y＝12与图象的交点，需过0，12点作x轴的平行线，再看它和图象的交点．【解】利用五点法作图．(1)根据图象可知图象在x轴上方的部分y＞0，在x轴下方的部分y＜0，即当x∈(－π，0)时，y＞0；当x∈(0，π)时，y＜0.(2)画出直线y＝12，知有两个交点．【知识点拨】“五点法”的实质是在函数y＝sinx的一个周期内，选取5个关键点：最高点、最低点及与x轴的交点，这五个点大致确定了函数一个周期内图象的形状．函数f(x)＝|lgx|－sinx的零点个数为________．解析：在同一坐标系中做出y＝|lgx|与y＝sinx的图象，如图所示，可知y＝|lgx|与y＝sinx有4个交点，故f(x)＝|lgx|－sinx的零点有4个．答案：4三角函数的最值问题类型2(1)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B.－54，－1C.－54，1D.－1，54【解析】令t＝sinx∈[－1,1]，∴y＝t2＋t－1＝t＋122－54.∴当t＝－12时，ymin＝－54，当t＝1时，ymax＝1，∴y＝sin2x＋sinx－1的值域为－54，1，故选C.【答案】C(2)求函数y＝2sin2x＋π3－π6≤x≤π6的最大值和最小值．【解】∵－π6≤x≤π6，∴0≤2x＋π3≤2π3，∴0≤sin2x＋π3≤1.∴当sin2x＋π3＝1时，ymax＝2；当sin2x＋π3＝0时，ymin＝0.【知识点拨】函数y＝sinx(x∈R)的值域为[－1,1]；y＝sinx(x∈R)需要作出y＝sinx的图象，结合图象，求值域；y＝Asin2x＋Bsinx＋C型的函数，利用换元法转化为二次函数求值域．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1,1]，则b－a的值不可能是()A.π2B.πC.3π2D.2π解析：函数y＝sinx的周期为2π，若值域为[－1,1]，则b－a≥π，故b－a的值不可能是π2，故选A.答案：A函数f(x)＝2sin2x＋π4取得最大值时的x的集合为________．解析：f(x)＝2sin2x＋π4≤2，当f(x)＝2时，2x＋π4＝π2＋2kπ，k∈Z，∴x＝π8＋kπ，k∈Z，∴f(x)取得最大值时x的集合为xx＝π8＋kπ，k∈Z.答案：xx＝π8＋kπ，k∈Z三角函数的性质类型3(1)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3的值为()A．－12B.32C．－32D.12(2)函数y＝sinx－π3的一个单调增区间是()A.－π2，π2B.－5π6，π6C.－π6，5π6D.－π3，2π3(3)下列关系式中正确的是()A．sin11°cos10°sin168°B．sin168°sin11°cos10°C．sin168°cos10°sin11°D．sin11°sin168°cos10°【解析】(1)由题可得f5π3＝f2π3＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32，故选B.(2)由题可得－π2＋2kπ≤x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，∴－π6＋2kπ≤x≤5π6＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，－π6≤x≤5π6，故－π6，5π6是y＝sinx－π3的一个增区间．故选C.(3)sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin80°，函数y＝sinx在0，π2上是增函数，∴sin11°sin12°sin80°，即sin11°sin168°cos10°，故选D.【答案】(1)B(2)C(3)D【知识点拨】(1)利用正弦函数的单调性比较大小，若是同名函数，则将两个自变量的值放在同一单调区间，根据单调性判断，若不是同名函数，则先化为同名函数再依据函数的单调性进行比较．(2)对函数周期性的理解，如果函数f(x)是周期为T的函数，则f(x)对定义域内任意一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期，则最小正周期只有一个；若T是函数的周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是函数f(x)的周期．求下列函数的周期：(1)f(x)＝2sinx2－π6；(2)f(x)＝|sinx|＋sinx.解：(1)在f(x)＝2sinx2－π6中，∵ω＝12，∴T＝2π12＝4π.(2)作出y＝|sinx|＋sinx＝2sinx，2kπ＜x≤2kπ＋π，k∈Z，0，2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z的图象．由图象可知y＝|sinx|＋sinx的周期为2π.比较下列各组数的大小：(1)sin194°和cos160°；(2)sin74和cos53.解：(1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°.cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin14°＜sin70°.从而－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.(2)∵cos53＝sinπ2＋53，又π2＜74＜π2＋53＜3π2，y＝sinx在π2，3π2上是减函数，∴sin74＞sinπ2＋53＝cos53.即sin74＞cos53.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一正弦函数的性质1．下列函数不是奇函数的是()A．y＝sinxB.y＝sin2xC．y＝sinx＋2D.y＝12sinx答案：C2．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π解析：因为f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，所以由2kπ≤x＋π4≤π＋2kπ(k∈Z)，得－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z)，因为[－a，a]⊆－π4，3π4，所以－aa，－a≥－π4，a≤3π4，所以0a≤π4，即a的最大值为π4，故选A.答案：A知识点二正弦函数的图象3．函数y＝cosx|tanx|－π2xπ2的大致图象是()解析：y＝cosx|tanx|＝－sinx，－π2x0，sinx，0≤xπ2，故选C.答案：C知识点三函数的周期性4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－1fx，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝()A．0B.2.5C．－12D.3.5解析：由f(x＋2)＝－1fx，得f(x＋4)＝－1fx＋2＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，f(105.5)＝f(26×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－1.5)＝f(2.5)＝2.5，故选B.答案：B知识点四三角函数的值域5．函数y＝sin2x－2sinx的值域是________．解析：y＝sin2x－2sinx＝(sinx－1)2－1，∵sinx∈[－1,1]，∴y∈[－1,3]．答案：[－1,3]