第一章基本初等函数(Ⅱ)1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1.理解任意角的余弦、正弦和正切的定义,了解任意角的余切、正割和余割的定义.2.掌握三角函数值在各象限的符号.1.三角函数的定义在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r=x2+y2>0).(1)当α为锐角时,从下表中可以得到锐角三角函数的定义、定义域及函数值的符号.图形定义定义域函数值的符号sinα=___cosα=___tanα=___α∈0,π2sinα0cosα0tanα0yrxryx>>>(2)任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域三角函数定义定义域正弦sinα=________余弦cosα=________正切tanα=________________________yrxryxRRαα≠kπ+π2,k∈Z(3)任意角的正割、余割、余切函数的定义①角α的正割:secα=______=____;②角α的余割:cscα=______=____;③角α的余切:cotα=______=____.1cosαrx1sinαry1tanαxy2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号正弦函数值在第、象限为正;余弦函数值在第、象限为正;正切函数值在第、象限为正.一二一四一三1.cos2π3=()A.12B.-12C.32D.-32解析:作出角2π3的终边,在终边上取一点(-1,3),∴r=32+-12=2,则cos2π3=-1r=-12,故选B.答案:B2.已知角α终边上有一点(-3,4),则tanα=________.解析:tanα=yx=4-3=-43.答案:-433.函数y=tanx的定义域为________.答案:xx≠kπ+π2,k∈Z典例精析规律总结课堂互动探究用三角函数定义求值类型1(1)已知角α的终边经过点P(4,-3),求2sinα+cosα的值;(2)已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),求2sinα+cosα的值;(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4,求2sinα+cosα的值.【解】(1)r=42+-32=5,∴sinα=-35,cosα=45,∴2sinα+cosα=-65+45=-25.(2)r=4a2+-3a2=5|a|,若a0,则r=5a,则α在第四象限,sinα=-3a5a=-35,cosα=4a5a=45,∴2sinα+cosα=-65+45=-25;若a0,则r=-5a,则α在第二象限,∴2sinα+cosα=2×-3a-5a+4a-5a=25.(3)当α的终边在第一象限时,任取终边上一点(4,3),∴2sinα+cosα=2×35+45=105=2;当α的终边在第二象限时,任取终边上一点(-4,3),∴2sinα+cosα=2×35-45=25;当α的终边在第三象限时,任取终边上一点(-4,-3),∴2sinα+cosα=-65-45=-2;当α的终边在第四象限时,任取终边上一点(4,-3),∴2sinα+cosα=-65+45=-25.【知识点拨】利用三角函数的定义求值,首先在角的终边上任意取一点,坐标为(a,b),计算出r=a2+b2,再根据定义写出相应的三角函数值.tan7π4=()A.1B.2C.-3D.-1解析:7π4的终边在直线y=-x(x>0)上,如图所示:在直线y=-x上任取一点(1,-1).∴tan7π4=-11=-1.故选D.答案:D三角函数值的符号问题类型2已知sinα2=45,cosα2=-35,则角α所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】由sinα2=45,cosα2=-35,π2+2kπα23π4+2kπ,k∈Z.∴π+4kπα3π2+4kπ,k∈Z,α是第三象限角,故选C.【答案】C【知识点拨】要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第一象限:全正;第二象限:仅sinα,cscα为正,其余为负;第三象限:仅tanα,cotα为正,其余为负;第四象限:仅cosα,secα为正,其余为负.简单地说:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则α的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵点P在第三象限,∴tanα0,cosα0,∴α是第二象限角,故选B.答案:B当α为第二象限角时,|sinα|sinα-cosα|cosα|=________.解析:当α为第二象限角时,sinα0,cosα0,所以|sinα|sinα-cosα|cosα|=sinαsinα-cosα-cosα=2.答案:2求函数的定义域类型3求下列函数的定义域.(1)y=sinx·tanx;(2)y=lgsinx+9-x2.【分析】第(1)题要保证sinx,tanx同号,还要注意tanx的定义域;第(2)题要使sinx>0和9-x2≥0同时成立.【解】(1)∵sinx·tanx≥0,∴sinx与tanx同号或sinx·tanx=0,故x是第一、四象限角或x轴上的角.∴函数的定义域为x2kπ-π2<x<2kπ或2kπ<x<2kπ+π2或x=kπ,k∈Z.(2)由题意得sinx>0,9-x2≥0.由sinx>0,得2kπ<x<2kπ+π(k∈Z),①由9-x2≥0,得-3≤x≤3.②由①②得0<x≤3,故函数的定义域为{x|0<x≤3}.【知识点拨】(1)根据三角函数的定义中比值的分母不为0,则正弦函数的定义域为R,余弦函数的定义域为R,正切函数的定义域为xx≠kπ+π2,k∈Z.(2)求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得.函数y=1sinx的定义域为________.解析:由题可得sinx≠0,∴x≠kπ,k∈Z,∴函数y=1sinx的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.答案:{x|x≠kπ,k∈Z}即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一三角函数的定义1.若角α的终边过点12,32,则cosα的值为()A.12B.32C.3D.33答案:A知识点二判断三角函数值的符号2.若sinθcosθ,且sinθ·cosθ0,则角θ的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵sinθ·cosθ0,sinθcosθ,∴sinθ0,cosθ0,∴θ是第四象限角,故选D.答案:D3.若角α的终边过点(sin30°,-cos30°),则sinα等于()A.12B.-12C.-32D.-33解析:sin30°=12,-cos30°=-32,∴sinα=-32122+-322=-32,故选C.答案:C4.判断下列各式符号:(1)sin105°·cos230°;(2)sin4·tan-234π.解:(1)105°和230°终边分别在第二和第三象限,所以sin105°0,cos230°0,所以sin105°·cos230°<0.(2)4弧度终边位于第三象限,-234π=-6π+π4位于第一象限,sin40,tan-234π0,所以sin4·tan-234π<0.知识点三三角函数定义的综合应用5.下列命题中不正确的个数是()①小于90°的角是锐角;②终边不同的角的同名三角函数值不等;③若sinα0,则α是第一、二象限角;④若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上的一点,则cosα=-xx2+y2.A.1B.2C.3D.4解析:①锐角是在(0°,90°)范围内的角,①错;sin30°=sin150°,30°与150°的终边不同,∴②错;若sinα0,则2kπα2kπ+π,k∈Z,α是第一、二象限角以及终边在y轴正半轴上的角,故③错;α是第二象限角,cosα=xx2+y2,故④错.故选D.答案:D
本文标题:2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数(Ⅱ) 1.2.1 三角函数的定义课件 新人教B
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