2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念课件 新人教A版选修2

第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解定积分的概念，理解定积分的几何意义．2．掌握定积分的基本性质．‖知识梳理‖1．一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式__________________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作___________________，这里a与b分别叫做_______________与_________，区间[a，b]叫做__________，函数f(x)叫做___________，x叫做___________，f(x)dx叫做_________．∑ni＝1f(ξi)Δx＝∑ni＝1b－anf(ξi)abf(x)dx＝limn→∞∑ni＝1b－anf(ξi)积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式2．如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有___________，那么定积分abf(x)dx表示由___________________________和______________________所围成的曲边梯形的面积．f(x)≥0直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0曲线y＝f(x)3．定积分有如下性质abkf(x)dx＝_______________(k为常数)；ab[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________；abf(x)dx＝_______________(其中a＜c＜b)．kabf(x)dxabf1(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx±abf2(x)dx解剖难点探究提高重点难点突破定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即abf(x)dx＝abf(u)du＝abf(t)dt＝….另外，定积分abf(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得的值可能也不同，abf(x)dx只是极限的一种记号．(1)当函数f(x)≥0时，定积分abf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(2)当函数f(x)≤0时，曲边梯形位于x轴的下方，此时abf(x)dx等于曲边梯形面积S的相反数，即abf(x)dx＝－S.即abf(x)dx不一定表示面积，也可能是面积的相反数，定积分可以是面积，也可以是体积，可以是功，可以是路程，还可以是压力，总之定积分还可以表示更多的实际意义．特别地，若f(x)在[－a，a]上连续，则(1)若f(x)为偶函数，-aaf(x)dx＝20af(x)dx；(2)若f(x)为奇函数，-aaf(x)dx＝0.归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一用定积分的定义求定积分利用定积分的定义计算23(x＋2)dx.【思路探索】根据定积分的定义求解．【解】令f(x)＝x＋2，将区间[2,3]平均分成n等份，Δxi＝1n[xi－1，xi]＝2＋i－1n，2＋in，(i＝1,2,3，…，n)．取ξi＝xi＝2＋in(i＝1,2,3，…，n)，则f(ξi)＝2＋in＋2＝4＋in.∑ni＝1f(ξi)Δxi＝∑ni＝14＋in·1n＝∑ni＝14n＋in2＝n·4n＋1＋2＋3＋…＋nn2＝4＋n＋12n.23(x＋2)dx＝limn→∞4＋n＋12n＝92，故23(x＋2)dx＝92.[名师点拨]利用定义求定积分的关键，仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程，其中“近似代替、求和”作为一个步骤处理条理性更强.设f(x)在[a，b]上连续，将区间[a，b]n等分，在每个小区间上任取ξi，则abf(x)dx等于()A.limn→∞∑ni＝1f(ξi)B.limn→∞∑ni＝1f(ξi)·b－anC.limn→∞∑ni＝1f(ξi)ξiD.limn→∞∑ni＝1f(ξi)(ξi－ξi－1)解析：由定积分的概念可知答案为B.答案：B题型二定积分几何意义的应用利用定积分的几何意义求下列各式的值．(1)-11x3dx；(2)-224－x2dx；(3)12(1＋x)dx.【思路探索】利用定积分的几何意义求解．【解】(1)∵y＝x3在[－1,1]上为奇函数，图象关于坐标原点对称，由在x轴上方和下方面积相等的两部分组成，即-11x3dx＝0.(2)∵y＝4－x2表示的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆，由定积分的几何意义知-224－x2dx＝π·222＝2π.(3)由定积分的几何意义可知，12(x＋1)dx表示由y＝x＋1，x＝1，x＝2，y＝0所围成的图形的面积，其面积S＝2＋3×12＝52，∴12(x＋1)dx＝52.[名师点拨]求abf(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b，及x轴所围成的平面图形的面积.已知定积分06f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则-66f(x)dx＝()A．0B．16C．12D.8解析：∵f(x)为偶函数，∴-60f(x)dx＝06f(x)dx＝8，∴-66f(x)dx＝-60f(x)dx＋06f(x)dx＝8＋8＝16，故选B.答案：B题型三定积分的性质及其应用(1)若ab[f(x)＋g(x)]dx＝3，ab[f(x)－g(x)]dx＝1，求abf(x)dx及abg(x)dx；(2)若abf(x)dx＝1，求ab[3－2f(x)]dx.【思路探索】利用定积分的性质解题．【解】(1)∵ab[f(x)＋g(x)]dx＝abf(x)dx＋abg(x)dx＝3，ab[f(x)－g(x)]dx＝abf(x)dx－abg(x)dx＝1，两式相加，得abf(x)dx＝2，两式相减，得abg(x)dx＝1.(2)ab[3－2f(x)]dx＝ab3dx－2abf(x)dx＝3(b－a)－2×1＝3b－3a－2.[名师点拨]定积分的性质为我们求定积分提供了方便，可以把复杂的被积函数拆成几个简单的函数，或把积分区间分割成易求积分的几段，且积分的性质还可推广：①ab[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fm(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx±…±abfm(x)dx；由三条直线x＝1，x＝3，y＝2x＋5和一条曲线y＝x2所围成的图形的面积可表示为()A.13(x2＋2x＋5)dxB.13(2x＋5－x2)dxC.13(x2－2x＋5)dxD．不能确定解析：由定积的几何意义得，S＝13(2x＋5)dx－13x2dx＝13(2x＋5－x2)dx.答案：B即学即练稳操胜券课堂基础达标1．图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.012xdxB．01(2x－1)dxC.01(2x＋1)dxD.01(1－2x)dx解析：根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为012xdx－011dx＝01(2x－1)dx.故选B.答案：B2．设f(x)＝x3＋x，则-22f(x)dx的值等于()A．0B．8C．202f(x)dxD.02f(x)dx解析：∵f(x)＝x3＋x是奇函数，∴-22f(x)dx＝0，故选A.答案：A3．计算02(4－x2－2x)dx＝()A．2π－4B．π－4C．ln2－4D．ln2－2解析：根据定积分的几何意义，可知024－x2dx表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆位于第一象限的面积S＝14·π·22＝π，∴02(4－x2－2x)dx＝024－x2dx－022xdx＝π－12×4×2＝π－4，故选B.答案：B4．(2019·石嘴山三中高二期中)与定积分相等的是()解析：当x∈(0，π]时，sinx≥0；当x∈π，3π2时，sinx0.∴由定积分的性质可得答案：C5．若f(x)＝x，x∈[0，1，2－x，x∈[1，2]，求02f(x)dx.解：02f(x)dx＝01f(x)dx＋12f(x)dx＝01xdx＋12(2－x)dx＝12＋12＝1.