2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行

第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概念学习目标核心素养1.了解定积分的概念．(难点)2.理解定积分的几何意义．(重点、易错点)3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想．(难点)4.能用定积分的定义求简单的定积分．(重点)1.通过曲边梯形面积和汽车行驶路程及定积分概念的学习，培养学生的数学抽象及数学运算的核心素养.2.借助定积分的几何意义及性质的学习，培养学生的直观想象及逻辑推理的核心素养.自主预习探新知1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程(1)曲边梯形的面积①曲线梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．y＝f(x)②求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_______________，对每个“以直代曲”，即用的面积近似代替_____________的面积，得到每个小曲边梯形面积的，对这些近似值，就得到曲边梯形面积的(如图②所示)．近似值小曲边梯形小曲边梯形矩形小曲边梯形近似值求和图①图②③求曲边梯形面积的步骤：，，，．取极限分割近似代替求和(2)求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用_____，，，的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.取极限分割近似代替求和2．定积分的概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式∑ni＝1f(ξi)Δx＝∑ni＝1b－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝.其中a与b分别叫做与，区间[a，b]叫做___________，函数f(x)叫做，x叫做，f(x)dx叫做．定积分limn→∞∑ni＝1b－anfξi被积式积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量思考：abf(x)dx是一个常数还是一个变量？abf(x)dx与积分变量有关系吗？[提示]由定义可得定积分abf(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即abf(x)dx＝abf(t)dt＝abf(u)du.3．定积分的几何意义与性质(1)定积分的几何意义由直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴及一条曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：①②③①在区间[a，b]上，若f(x)≥0，则S＝abf(x)dx，如图①所示，即____________.②在区间[a，b]上，若f(x)≤0，则S＝－abf(x)dx，如图②所示，即______________.③若在区间[a，c]上，f(x)≥0，在区间[c，b]上，f(x)≤0，则S＝acf(x)dx－cbf(x)dx，如图③所示，即abfxdx＝SA－SB(SA，SB表示所在区域的面积)．abf(x)dx＝Sabf(x)dx＝－S(2)定积分的性质①abkf(x)dx＝(k为常数)；②ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；③abf(x)dx＝(其中a＜c＜b)．acf(x)dx＋cbf(x)dxkabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dx1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值()A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均正确C[作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．]2．如图所示，图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.012xdxB.01(2x－1)dxC.01(2x＋1)dxD.01(1－2x)dxB[根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为012xdx－011dx＝01(2x－1)dx.]3．已知01x2dx＝13，12x2dx＝73，021dx＝2，则02(x2＋1)dx＝________.143[∵01x2dx＝13，12x2dx＝73，021dx＝2，∴02(x2＋1)dx＝01x2dx＋12x2dx＋021dx＝13＋73＋2＝83＋2＝143.]合作探究提素养求曲边梯形的面积【例1】求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．[解](1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点1n，2n，…，n－1n把区间[0,1]等分成n个小区间：0，1n，1n，2n，…，i－1n，in，…，n－1n，nn，简写作i－1n，in(i＝1,2，…，n)．每个小区间的长度为Δx＝in－i－1n＝1n.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间i－1n，in上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－i－1ni－1n－1为其一边长，以小区间长度Δx＝1n为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－i－1ni－1n－1·1n(i＝1,2，…，n)．(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即S＝i＝1nΔSi≈－i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1n－i－1ni－1n－1·1n＝－1n3[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝－1n3·16n(n－1)(2n－1)＋1n2·nn－12＝－－n2＋16n2＝－161n2－1.(4)取极限当分割无限变细，即Δx趋向于0时，n趋向于∞，此时－161n2－1趋向于S.从而有S＝limn→∞－161n2－1＝16.所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为16.求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．(3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确．(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16，13＋23＋33＋…＋n3＝nn＋122.1．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．[解]∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由y＝x2x≥0，y＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2]n等分，则Δx＝2n，取ξi＝2i－1n.(2)近似代替求和Sn＝∑ni＝12i－1n2·2n＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝831－1n1－12n.(3)取极限S＝limn→∞Sn＝limn→∞831－1n1－12n＝83.∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－83＝163.∴2S阴影＝323，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为323.求变速直线运动的路程【例2】已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？[解]将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为1＋i－1n，1＋in，在第i个时间段的路程近似为Δsi＝v1＋inΔt＝－1＋in2＋21＋in·1n，i＝1,2，…，n.所以sn＝∑ni＝1Δsi＝∑ni＝1－1＋in2＋21＋in·1n＝－1n3[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋2n2[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＝－1n32n2n＋14n＋16－nn＋12n＋16＋2n2·nn＋1＋2n2＝－132＋1n4＋1n＋161＋1n2＋1n＋3＋1n，s＝limn→∞sn＝limn→∞－132＋1n4＋1n＋161＋1n2＋1n＋3＋1n＝23，所以这段时间行驶的路程为23km.求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.2．一物体自200m高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离．(g＝9.8m/s2)[解]自由落体的下落速度为v(t)＝gt.将[3,6]等分成n个小区间，每个区间的长度为3n.在第i个小区间3＋3i－1n，3＋3in(i＝1,2，…，n)上，以左端点函数值作为该区间的速度．所以sn＝∑ni＝1v3＋3i－1n3n＝∑ni＝13g＋3gni－1·3n＝3ng＋3gn[1＋2＋…＋n－1]·3n＝9g＋9gn2·nn－12＝9g＋92g·1－1n.所以s＝limn→∞sn＝limn→∞9g＋92g·1－1n＝9g＋92g＝272×9.8＝132.3(m)．故该物体在下落后第3s至第6s之间的距离是132.3m.利用定积分的性质及几何意义求定积分[探究问题]1．在定积分的几何意义中f(x)≥0，如果f(x)＜0，abf(x)dx表示什么？[提示]如果在区间[a，b]上，函数f(x)＜0，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所示)，由于Δxi＞0，f(ξi)＜0，故f(ξi)·Δxi＜0，从而定积分abf(x)dx＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即abf(x)dx＝－S或S＝－abf(x)dx.2.024－x2dx的几何意义是什么？[提示]是由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝4－x2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即024－x2dx＝π.3．若f(x)为[－a，a]上的偶函数，则-aaf(x)dx与0af(x)dx存在什么关系？若f(x)为[－a，a]上的奇函数，则-aaf(x)dx等于多少？[提示]若f(x)为偶函数，则-aaf(x)dx＝20af(x)dx；若f(x)为奇函数，则-aaf(x)dx＝0.【例3】说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值．(1)012dx；(2)12xdx；(3)1-1