2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例 课时作业10 生

课时作业10生活中的优化问题举例知识对点练知识点一面积、容积最大(小)问题1.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为()A．2B．4C．6D．8答案D答案解析设其中一段长为x，则另一段长为16－x，则两个正方形面积之和为S(x)＝x42＋16－x42(0x16)，则S′(x)＝2·x4·14＋2·16－x4·－14＝14(x－8)．令S′(x)＝0，得x＝8.当0x8时，S′(x)0；当8x16时，S′(x)0.∴x＝8是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．∴当x＝8时，S(x)取最小值，S(x)最小＝S(8)＝8，即两个正方形面积之和的最小值是8，故选D.解析知识点二材料最省问题2.圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为()A．2∶1B．1∶2C．1∶4D．4∶1答案A答案解析设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则V＝πr2h，即h＝Vπr2.由题意，知当表面积S最小时所用材料最省．S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr·Vπr2＝2πr2＋2Vr.令S′＝4πr－2Vr2＝0，得r＝3V2π，当r＝3V2π时，h＝Vπ3V2π2＝34Vπ，则h∶r＝2∶1时，所用材料最省．解析知识点三利润最大问题3.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．即每件商品的定价为115元时，利润最大．解析答案115答案4．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a0，b0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6lnb＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0x≤5)．答案S′(x)＝6x＋1－2，令S′(x)＝0，得x＝2.当0x2时，S′(x)0，函数S(x)单调递增；当2x≤5时，S′(x)0，函数S(x)单调递减．所以当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln3＋6≈12.6万元．所以当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．答案课时综合练一、选择题1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为()A．5分米B．6分米C．7分米D．8分米解析设底面边长为x分米，则高为h＝256x2，其表面积S＝x2＋4·256x2·x＝x2＋256×4x(x0)，S′＝2x－256×4x2，令S′＝0，则x＝8.当0x8时S′0，当x8时S′0，故x＝8时S最小．解析答案D答案2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A．0.0162B．0.0324C．0.0243D．0.0486答案B答案解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0x0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2(0x0.0486)．令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．当0x0.0324时，y′0；当0.0324x0.0486时，y′0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．解析3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝400x－12x20≤x≤400，80000x400，则总利润最大时，每年生产的产品数是()A．100B．150C．200D．300答案D答案解析设总成本为C，总利润为P，由题意，总成本为C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝300x－x22－20000，0≤x≤400，60000－100x，x400，P′＝300－x，0≤x≤400，－100，x400，令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x400时，P′0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．解析4．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm答案B答案解析设四角截去的小正方形边长为xcm，则V＝(48－2x)2x＝4x3－4×48x2＋482x(0x24)，V′＝12x2－8×48x＋482＝12(x2－8×4x＋48×4)＝12(x－24)·(x－8)．当0x＜8时，V′＞0；当8＜x＜24时，V′＜0，∴V在x＝8处取最大值，故选B.解析二、填空题5．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________．答案20km/h答案解析设轮船的速度为xkm/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．因为6＝k×103，所以k＝3500，所以Q＝3500x3.所以行驶每千米的费用总和为y＝3500x3＋96·1x＝3500x2＋96x(x＞0)．所以y′＝3250x－96x2.令y′＝0，解得x＝20.解析因为当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减；当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增，所以当x＝20时，y取得最小值，即此轮船以20km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．解析6．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为________．答案300m3答案解析设仓库的容积为Vm3，长为xm，则宽为(20－x)m，V＝x(20－x)×3＝－3x2＋60x(0x20)，V′＝－6x＋60，令V′＝0，得x＝10.当0x10时，V′0；当x10时，V′0，所以当x＝10时，V取最大值，V最大＝300.解析7．如图，已知用某种材料制成的圆柱形饮料瓶的容积为250mL，则它的底面半径r等于________cm时，可使所用的材料最省．(用含有π的式子表示)答案答案解析设圆柱的表面积为S，容积为V，则S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝250πr2，则S＝2πr·250πr2＋2πr2＝500r＋2πr2，S′＝－500r2＋4πr，令S′＝0，得r＝.令S′＞0，得r＞；令S′＜0，得0＜r＜，所以当r＝时，S取得最小值，即此时所用的材料最省．解析8．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1200＋275x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．答案25答案解析设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝kx，其中k为比例系数．因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250000，所以p2＝250000x，p＝500x(x0)．解析设总利润为y万元，则y＝500x·x－1200－275x3＝500x－275x3－1200.求导数得，y′＝250x－225x2.令y′＝0，得x＝25.当0x25时，y′0；当x25时，y′0.因此当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．解析三、解答题9．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，由题意知24＝k·22，得k＝6.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝(21－x)(432＋6x2)，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根据(1)有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：答案故x＝12时，f(x)取得极大值，因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，f(0)f(12)，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．答案10．某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油量为多少升？解(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(时)，1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)．答：当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当汽车的速度为x千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了100x时，设耗油量为h(x)升．依题意，得h(x)＝1128000x3－380x＋8·100x＝11280x2＋800x－154(0x≤120)，答案h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0x≤120)，令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)0，h(x)是增函数．故当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少耗油量为11.25升．答案本课结束