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第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3最大值与最小值学习目标核心素养1.会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点)2．掌握含参数的最值问题的讨论．(难点)3．掌握函数的极值与最值的联系与区别．(易混点)1.通过函数最大、最小值的学习，培养数学抽象、直观想象素养．2．借助函数最大、最小值的求解，提升数学运算素养.自主预习探新知1．函数的最大值与最小值．(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)___f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)___f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值______．≤≥惟一2．利用导数求函数的最值求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的______；(2)将第一步中求得的______与_____，_____比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．极值极值f(a)f(b)思考：(1)函数在闭区间上的极大值就是最大值吗？极小值就是最小值吗？(2)函数在区间[a，b]上的最值一定在端点处取得吗？[提示](1)不一定．函数在闭区间上的极大值不一定是最大值，还要与端点处的函数值比较，最大的即最大值；同理，闭区间上的极小值也不一定是最小值．(2)不一定．还与函数在区间上的单调性、极值有关．1．函数f(x)＝x33－4x＋4在[0,3]上的最小值为()A．1B．4C．5D．－43D[f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，解得x＝±2，因为x∈[0,3]，故x＝2，当0x2时，f′(x)0，当2x3时，f′(x)0，故当x＝2时，函数取极小值，也是最小值，f(x)最小值＝f(2)＝83－8＋4＝－43.]A[f′(x)＝2＋sinx0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]2．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值1e[∵f′(x)＝x′·ex－xex′ex2＝1－xex，令f′(x)＝0，得x＝1∈[0,2]．∴f(1)＝1e，f(0)＝0，f(2)＝2e2.∴f(x)最大值＝f(1)＝1e.]3．函数f(x)＝xex在[0,2]上的最大值为________．1[f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0，当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．∴f(0)＝m＝1.]4．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.合作探究提素养求函数在给定区间上的最值【例1】求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3－12x2－2x＋5，x∈[－2,2]；(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0,1]．[解](1)f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－23，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x－2－2，－23－23－23，11(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－115727727从上表可知，函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.(2)f′(x)＝1ex′－(ex)′＝－1ex－ex＝－1＋e2xex.当x∈[0,1]时，f′(x)0恒成立，即f(x)在[0,1]上是减函数．故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝1e－e；当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.求函数最值的四个步骤(1)求函数的定义域；(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；(4)求极值、端点值，确定最值．1．(1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0(2)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为()A．1－eB．－1C．－eD．0(1)D(2)B[(1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1.当x1时，y′0，函数单调递减；当x1时，y′0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3在[－2,3]上取得最小值0，故选D.(2)f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1，e)时，f′(x)0，∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1，故选B.]由函数的最值确定参数的值【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[思路探究]首先求出f′(x)，然后讨论a的正负，根据函数f(x)的单调性得出用a，b表示的函数的最值，从而列出关于a，b的方程组，求a，b.[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋bb－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.1．本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的符号的影响，因此需要对a的符号进行分类讨论．2．已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的基本方法是待定系数法，列出关于参数的方程(组)，从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论．2．设23a1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求该函数的解析式．[解]f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0，a)a(a,1)1f′(x)＋0－0＋f(x)－1－32a＋bb－a32＋b1－32a＋b从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，当x＝a时，f(x)取得极小值－a32＋b，而f(0)f(a)，又f(1)f(－1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－10，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又因为f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－32a＝－62，所以a＝63.故所求函数的解析式是f(x)＝x3－62x2＋1.与最值有关的综合问题[探究问题]1．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立，则c满足的条件是什么？提示：c≤f(x)min或c≥f(x)max.2．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？提示：c≤f(x)max或c≥f(x)min.【例3】设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．[思路探究](1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零，即可求得m的取值范围．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t0)，∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)极大值1－m∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.h(t)－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．1．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解]令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：t0(0,1)1(1,2)2g′(t)＋0－g(t)－1－m极大值1－m－3－m∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m，存在t∈[0,2]，使h(t)－2t＋m成立，等价于g(t)的最小值g(2)0.∴－3－m0，∴m－3，∴实数m的取值范围为(－3，＋∞)．2．(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求实数m的取值范围．[解]∵h(t)＝－t3＋t－1，t∈(0,2)，∴h′(t)＝－3t2＋1，由h′(t)＝0得t＝33或t＝－33(舍去)，又当0＜t＜33时，h′(t)＞0，当33＜t＜2时，h′(t)＜0.∴当t＝33时，h(t)max＝－39＋33－1＝23－99.令φ(t)＝－2t＋m，t∈(0,2)，∴φ(t)min＞m－4.由题意可知23－99≤m－4，即m≥239＋3＝23＋279.∴实数m的取值范围为23＋279，＋∞.1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)最大值，a＜f(x)恒成立⇔af(x)最小值；(2)f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]最小值；(3)f(x)＞g(x)恒成立⇔f(x)最小值＞g(x)最大值；(4)a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)最小值，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)最大值．1．函数的最值是一个全局概念，而函数极值是一个局部概念．2．函数的最值只能在区间端点或极值点处取得，因此求闭区间上的最值时，只需求出极值与端点值比较即可．3．对于含参数的最值问题，注意分类讨论解决．4．解决恒成立、能成立问题，注意分离参数法的应用及数形结合思想的应用.当堂达标固双基[答案](1)×(2)√(3)×1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．()2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是()A．12，－8B．1，－8C．1