2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数课件 新人

第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大(小)值与导数梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解函数的最值，并能利用导数求函数的最值．2．了解函数的最值与极值的区别与联系．‖知识梳理‖1．如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得___________和___________，并且函数的最值必在___________和___________________取得．2．求函数在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的___________；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中___________是最大值，___________是最小值．最大值最小值极值点区间端点极值最大的一个最小的一个解剖难点探究提高重点难点突破函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．如果函数在一个闭区间上的图象是一条连续不断的曲线，那么它存在最大值或最小值，且最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，极值可能多于一个，当然也可能没有．如果函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极值，那么这个极值就是相应的最值．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求函数的最值(1)求f(x)＝x3－3x在x∈[－1,3]上的最值；(2)求f(x)＝x·e－ax(a＞0)在x∈[1,2]上的最大值．【思路探索】对于(1)利用求最值的步骤求解即可；对于(2)，由于所给的解析式中含有a，需对a分情况讨论．【解】(1)∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.x，f′(x)，f(x)取值情况如下表：x－1(－1,1)1(1,3]f′(x)0－0＋f(x)极小值∴f(x)极小值＝f(1)＝1－3＝－2，又f(－1)＝－1＋3＝2，f(3)＝33－9＝18.∴f(x)min＝f(1)＝－2，f(x)max＝f(3)＝18.(2)∵f(x)＝x·e－ax，∴f′(x)＝e－ax－axe－ax＝(1－ax)e－ax.令f′(x)＝0，得x＝1a.∵a＞0，∴1a0.当0＜1a≤1，即a≥1时，f′(x)≤0在[1,2]上恒成立，∴f(x)在[1,2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝e－a.当1＜1a＜2，即12＜a＜1时，当1＜x＜1a时，f′(x)＞0；当1a＜x＜2时，f′(x)＜0.∴f(x)max＝f1a＝1ae－1.当1a≥2，即0＜a≤12时，f′(x)≥0在[1,2]上恒成立，∴f(x)在[1,2]上单调递增，∴f(x)max＝f(2)＝2e－2a.综上得，当a≥1时，f(x)的最大值为e－a；当12a1时，f(x)的最大值为1ae－1；当0a≤12时，f(x)的最大值为2e－2a.[名师点拨]求函数在闭区间[a，b]上的最值的解题步骤：(1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内的根，同时还要找导数不存在的点；(2)比较三类点处的函数值：区间端点值，导数为0的点对应的函数值，以及导数不存在的点对应的函数值，其中最大者为最大值，最小者为最小值.已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx(a，b∈R)在x＝－3处取得极大值为9.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)在区间[－3,3]上的最值．解：(1)f′(x)＝x2＋2ax＋b，依题意得f′－3＝0，f－3＝9，即9－6a＋b＝0，－9＋9a－3b＝9，解得a＝1，b＝－3.经检验成立．(2)由(1)得f(x)＝13x3＋x2－3x，∴f′(x)＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)．令f′(x)0，得x－3或x1；令f′(x)0，得－3x1.∴f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)和(－∞，－3)，f(x)的单调递减区间是(－3,1)，∴f(x)极大值＝f(－3)＝9，f(x)极小值＝f(1)＝－53，又f(3)＝9，∴函数f(x)在区间[－3,3]上的最大值为9，最小值为－53.题型二根据函数的最值求字母的值已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．【思路探索】欲求a，b的值，可先求出f(x)的最大值与最小值，通过解方程组求解．【解】假设存在实数a，b满足条件，显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍)．①当a＞0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)＋0－f(x)极大值b所以当x＝0时，f(x)取极大值，f(0)＝b.又f(2)＝b－16a，f(－1)＝b－7a，由于a＞0，所以f(0)＞f(－1)＞f(2)，所以当x＝0时，f(x)取最大值，b＝3，当x＝2时，f(x)取最小值，即f(2)＝3－16a＝－29，所以a＝2.②当a＜0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)－0＋f(x)极小值b所以当x＝0时，f(x)取极小值，f(0)＝b.又f(2)＝b－16a，f(－1)＝b－7a，由于a＜0，所以f(2)＞f(－1)＞f(0)，∴f(x)min＝f(0)＝b＝－29，f(x)max＝f(2)＝－29－16a＝3，得a＝－2.∴当a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29时函数f(x)在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29.[名师点拨]对于已知函数的最值，求字母的值这类题型，可通过先求出函数的最值，得出方程(组)，通过求解得出字母的值．在解题时，若函数的最高次项含有字母，如没有说明，需分情况讨论.(2019·无锡一中高二期中)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－1，11)B．(－1,4)C．(－1,2]D.(－1,2)解析：由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)－22由此得a2－12－1a，解得－1a11.又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.综上，－1a≤2.故选C.答案：C题型三有关恒成立的问题已知函数f(x)＝ax3－32(a＋2)x2＋6x＋b在x＝2处取得极值．(1)求a的值及f(x)的单调区间；(2)若x∈[1,4]时，不等式f(x)＜b2＋4恒成立，求b的取值范围．【思路探索】对于(1)可由f(x)在x＝2处取得极值，求出a的值，利用求导的方法求出单调区间；对于(2)，由不等式f(x)＜b2＋4恒成立，可得[f(x)]max＜b2＋4，通过解不等式求出b的取值范围．【解】(1)∵f(x)＝ax3－32(a＋2)x2＋6x＋b，∴f′(x)＝3ax2－3(a＋2)x＋6.由题意得f′(2)＝0，得a＝1.经检验，当a＝1时符合题意．∴a的值为1.∴f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜1；令f′(x)＜0，得1＜x＜2.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)，单调递减区间为(1,2)．(2)由(1)知f(x)＝x3－92x2＋6x＋b.∵当x∈(1,2)时，f(x)为减函数，当x∈(2,4)时，f(x)为增函数．又f(1)＝1－92＋6＋b＝52＋b，f(4)＝43－92×42＋6×4＋b＝16＋b，∴f(x)max＝16＋b.又f(x)＜b2＋4，当x∈[1,4]恒成立，∴16＋b＜b2＋4，即b2－b－12＞0，得b＞4或b＜－3.[名师点拨]利用导数，可以较方便地求出函数的最值，从而对不等式恒成立求字母的取值范围的题目可按如下思路进行：f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a.(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．解：(1)当a＝3时，f(x)＝13x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋23.当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)上单调递增，在(3－23，3＋23)上单调递减．(2)证明：由于x2＋x＋10，所以f(x)＝0等价于x3x2＋x＋1－3a＝0.设g(x)＝x3x2＋x＋1－3a，则g′(x)＝x2x2＋2x＋3x2＋x＋12≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6a－162－160，f(3a＋1)＝130，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2019·哈尔滨师大附中高二月考)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为()A．16B．12C．32D.6解析：∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32.故选C.答案：C2．已知函数f(x)＝lnx＋1x，下列描述正确的是()A．f(x)在(0，e)上是增函数，在(e，＋∞)上是减函数B．f(x)有最小值1C．f(x)有最大值1D．f(x)有最大值2e解析：∵f′(x)＝1－lnx＋1x2＝－lnxx2，∴当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为减函数，∴当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝1，故C正确．答案：C3．函数f(x)＝－13x3＋4x－4在[0,3]上的最大值和最小值分别为()A．2，－283B．43，－283C.43，－4D.2，－1解析：∵f(x)＝－13x3＋4x－4，∴f′(x)＝－x2＋4，当x∈[0,2)时，f′(x)0；当x∈(2,3]时，f′(x)0，∴f(x)max＝f(2)＝43，又f(0)＝－4，f(3)＝－1，∴f(x)min＝－4，故选C.答案：C4．(2019·乾安县七中高二质检)若存在正数x使2x(x－a)1成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D.(－1，＋∞)解析：因为2x(x－a)1，所以ax－12x.令f(x)＝x－12x，所以f′(x)＝1＋2－xln20，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)f(0)＝0－1＝－1，所以a的取值范围为(－1，＋∞)．答案：D5．已知函数f(x)＝e3x－1－3x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m∈R，求函数f(x)在区间[m，m＋1]上的最小值．解：(1)由f(x)＝e3x－1－3x得f′(x)＝3e3x－1－3，由f′(x)0时，解得x13；由f′(x)0时，解得x13，∴函数f(x)的单调递增区间是13，＋∞，单调递减区间是－∞，13.(2)当m＋1≤13即m≤－23时，函数f(x)＝e3x－1－3x在区间[m，m＋1]上递减，则当x＝m＋1时，函数f(x)＝e3x－1－3x取最小值e3m＋2－3m－3；当m13m＋1即－23m13时，函数f(x)＝e3x－1－3x在区间m，13上递减，在区间