2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选

第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数学习目标核心素养1．了解极大值、极小值的概念．(难点)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)1．通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.自主预习探新知1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝，而且在点x＝a附近的左侧，右侧__________，就把叫做函数y＝f(x)的极小值点，叫做函数y＝f(x)的极小值．0f′(x)＜0f′(x)＞0点af(a)(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝，而且在点x＝b附近的左侧，右侧__________，就把叫做函数y＝f(x)的极大值点，叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为；极大值、极小值统称为_______．0f′(x)＞0f′(x)＜0点bf(b)极值点极值思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0,但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是__________；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是_________．极小值极大值1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]2．函数f(x)＝x44－x33的极值点为()A．0B．－1C．0或1D．1D[∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.又当x＞1时f′(x)＞0,0＜x＜1时f′(x)＜0，∴1是f(x)的极小值点．又x＜0时f′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点．]3．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值．0极大[由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴f′(1)＝0,1是函数f(x)的极大值．]4．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．2[由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2.列表如下：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x＝2时，f(x)取得极小值．]合作探究提素养求函数的极值点和极值角度1不含参数的函数求极值【例1】求下列函数的极值(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小值↗∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)，令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,3)3(3,5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴x＝0不是y的极值点；x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.角度2含参数的函数求极值【例2】已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当a∈R且a≠23时，求函数的极值．思路探究：求f′x＝0的根讨论fx的单调性―→求极值[解]f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.由a≠23知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论：若a＞23，则－2a＜a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．∴函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a；函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.若a＜23，则－2a＞a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．∴函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2；函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求函数的定义域；(2)求函数的导数f′(x)；(3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．1．若函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函数f(x)的极值．[解]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax＝x－ax.(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．(2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0.∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－lna，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值.由极值求参数的值或取值范围【例3】(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.(2)已知函数f(x)＝13x3－12(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．思路探究：(1)由f′(1)＝0及f(1)＝10求a，b，注意检验极值的存在条件；(2)f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，等价于f′(x)＝0在(1，＋∞)内有两个不等实根．(1)4，－11[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得f1＝10，f′1＝0，即a2＋a＋b＝9，2a＋b＝－3，解得a＝4，b＝－11，或a＝－3b＝3.但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以a＝－3b＝3，不符合题意，应舍去．而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.](2)[解]f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．所以Δ＝m＋32－4m＋60，f′1＝1－m＋3＋m＋60，m＋321，解得m3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：1根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；2因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.2．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f(x)的极大值．[解]∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0，∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6.(1)当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)，由f′(x)＞0得x＜23或x＞2；由f′(x)＜0得23＜x＜2.∴x＝2是f(x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．(2)当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞6；由f′(x)＜0得2＜x＜6.∴x＝2是f(x)的极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32.即函数f(x)的极大值为32.极值问题的综合应用[探究问题]1．如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象．[提示]f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．由f′(x)＞0得x＜－2或x＞3，∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．由f′(x)＜0得－2＜x＜3，∴函数f(x)的递减区间是(－2,3)．由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一)．2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有几解？[提示]方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：(1)当a＞60或a＜－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a三解．【例4】已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．思路探究：求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．[解]令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x－1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．由已知应有2＋a0，－2＋a0，解得－2a2，故实数a的取值范围是(－2,2)．1．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？[解]由例题，知函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝2.2．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．[解]由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2.用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.1．在极值的定义中，取得极值的