2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基

第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学掌握基本初等函数的导数公式，并能够简单应用．‖知识梳理‖1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝____f(x)＝xf′(x)＝_____f(x)＝x2f′(x)＝_____012x原函数导函数f(x)＝1xf′(x)＝_____________f(x)＝xf′(x)＝____________－1x212x2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝_______f(x)＝xα(α∈Q)f′(x)＝_______f(x)＝sinxf′(x)＝_______f(x)＝cosxf′(x)＝_______0αxα－1cosx－sinx原函数导函数f(x)＝axf′(x)＝_______f(x)＝exf′(x)＝_______f(x)＝logaxf′(x)＝________f(x)＝lnxf′(x)＝_____axlnaex1xlna1x解剖难点探究提高重点难点突破求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见函数的导数公式．应用公式时一般要遵循“先化简，再求导”的基本原则，在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．基本初等函数的导数公式可分为四类：第一类为幂函数y＝xα的导数，y′＝αxα－1，(α可推广到全体实数)；第二类为三角函数，(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx；第三类为指数函数(ax)′＝axlna，当a＝e时，(ex)′＝ex；第四类为对数函数，(logax)′＝1xlna，当a＝e时，(lnx)′＝1x.记公式时一定要区分公式的结构特征，找出差异，记忆公式．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一利用定义求函数的导数利用导数的定义，求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝1x；(3)y＝x.【解】(1)ΔyΔx＝x＋Δx－xΔx＝1，∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝1.(2)ΔyΔx＝1x＋Δx－1xΔx＝－1x＋Δxx，∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－1x＋Δxx＝－1x2.(3)ΔyΔx＝x＋Δx－xΔx＝1x＋Δx＋x，∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01x＋Δx＋x＝12x.[名师点拨]利用导数定义求导数：(1)作差，求函数的增量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)作比，求平均变化率ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx；(3)求导数f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx.利用导数的定义求函数y＝x2＋3x的导数．解：ΔyΔx＝x＋Δx2＋3x＋Δx－x2－3xΔx＝2x＋Δx＋3，f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx＋3)＝2x＋3.题型二利用导数公式求函数的导数求下列函数的导数：(1)y＝3；(2)y＝x3；(3)y＝3x2；(4)y＝sinπ2＋x；(5)y＝sinx；(6)y＝4x；(7)y＝log3x；(8)y＝ex.【思路探索】利用公式求解．【解】(1)y′＝3′＝0.(2)y′＝(x3)′＝3x2.(3)∵y＝3x2＝x23，(4)∵y＝sinπ2＋x＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.(5)y′＝(sinx)′＝cosx.(6)y′＝(4x)′＝4x·ln4＝2ln2·4x.(7)y′＝(log3x)′＝1xln3＝1xlog3e.(8)y′＝(ex)′＝ex.[名师点拨](1)熟记求导公式是解决此类问题的关键；(2)用导数公式求导，可先简化运算，降低运算难度；(3)在记指对函数的导数时，由于(ax)′＝axlna，当a＝e时，(ex)′＝ex；(logax)′＝1xlna，当a＝e时，(lnx)′＝1x，因此可视为ex为ax的一个特例，lnx为logax的一个特例，这样有助于记忆公式.(2019·孝感七校高二期末)函数y＝mx2m－n的导数为y′＝4x3，则()A．m＝－1，n＝－2B．m＝－1，n＝2C．m＝1，n＝2D.m＝1，n＝－2解析：∵y＝mx2m－n，∴y′＝m(2m－n)x2m－n－1，又y′＝4x3，∴m2m－n＝4，2m－n－1＝3，∴m＝1，2m－n＝4，即m＝1，n＝－2.答案：D题型三导数的综合运用(2018·天津卷)已知f(x)＝ax，g(x)＝logax，其中a1，若曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线平行．证明：x1＋g(x2)＝－2lnlnalna.【思路探索】利用两函数在两点处的切线平行建立等式进行化简证明．【证明】由f′(x)＝axlna，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率为ax1lna；由g′(x)＝1xlna，可得曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线斜率为1x2lna.因为这两条切线平行，故有ax1lna＝1x2lna，即x2ax1(lna)2＝1，两边取以a为底的对数，得logax2＋x1＋2logalna＝0，所以x1＋g(x2)＝－2lnlnalna.[名师点拨]利用初等函数的求导公式，结合导数的几何意义训练学生函数与方程、转化与化归等思想.(2019·辽阳集美高二期中)曲线y＝cosx－x2在点(0,1)处的切线方程为______________．解析：y＝cosx－x2，y′＝－sinx－12，y′|x＝0＝－12.∴切线方程为y－1＝－12(x－0)，即x＋2y－2＝0.答案：x＋2y－2＝0即学即练稳操胜券课堂基础达标1．若函数f(x)＝sinx，则fπ4＋f′π4＝()A．－2B．2C．1D.0解析：∵f(x)＝sinx，∴fπ4＝22，f′(x)＝cosx，∴f′π4＝22，∴fπ4＋f′π4＝2，故选B.答案：B2．(2019·石嘴山三中高二期中)已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x的值为()A．1B．－12C．1或－12D.2解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝1x(x0)，f′(x)－g′(x)＝2x－1x＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－12(舍去)．故x＝1.故选A.答案：A3．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()A．eB．－eC.1eD.－1e解析：设切点为(x0，lnx0)，∵y′＝1x，∴切线的斜率k＝1x0，∵切线过原点，∴k＝lnx0x0，即lnx0x0＝1x0，∴x0＝e，k＝1e，故选C.答案：C4．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()A.1eB．－1eC．－eD.e解析：y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝kx0，①y0＝ex0，②k＝ex0，③∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.故选D.答案：D5．已知曲线y＝x2，求过点B(2,3)且与曲线相切的直线方程．解：显然点B(2,3)不在曲线y＝x2上，即点B不是切点，故设切点P的坐标为(x0，x20)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0.∴切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)．将点B(2,3)代入上式得3－x20＝2x0(2－x0)，即3－x20＝4x0－2x20.∴x20－4x0＋3＝0，∴x0＝1或x0＝3.∴切点坐标为(1,1)或(3,9)．∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)，即2x－y－1＝0或6x－y－9＝0.