2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基

第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．能利用导数的四则运算法则求函数的导数．2．能运用复合函数的求导法则求复合函数的导数．‖知识梳理‖1．导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)两个函数的和的导数[f(x)＋g(x)]′＝_____________________两个函数的差的导数[f(x)－g(x)]′＝____________________两个函数的积的导数[f(x)g(x)]′＝________________________f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)两个函数的商的导数fxgx′＝_____________________(g(x)≠0)f′xgx－fxg′x[gx]22.复合函数复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成______________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作________________x的函数y＝f[g(x)]复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝____________.即y对x的导数等于____________________________________yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积解剖难点探究提高重点难点突破在和、差、积、商的导数中，要牢记积、商的导数公式[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋g′(x)f(x)，fxgx′＝f′xgx－g′xfx[gx]2.注意不要与和、差的导数混淆．求函数的导数时，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则；对于较为复杂的求导运算，在求导之前，要先化简函数解析式，然后求导，以减少运算量．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y＝f(u)，u＝g(x)；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求yu′，再求ux′；(3)计算yu′·ux′，并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数．整个过程可简记为分解——求导——回代．熟练以后，可以省略中间过程．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一利用导数的运算法则求导求下列函数的导数．(1)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)；(2)y＝x2＋lnx；(3)y＝cosxx；(4)y＝sin4x4＋cos4x4.【思路探索】对于(1)，(2)，(3)利用导数的运算法则求，对于(4)先化简再求导．【解】(1)解法一：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.解法二：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)，∴y′＝(x2＋3x＋2)′(x＋3)＋(x＋3)′(x2＋3x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.(2)y′＝2x＋1x＝2x2＋1x.(3)y′＝cosxx′＝cosx′x－cosxx′x2＝－xsinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.(4)∵y＝sin4x4＋cos4x4＝sin2x4＋cos2x42－2sin2x4·cos2x4＝1－12sin2x2＝1－12×1－cosx2＝34＋14cosx，∴y′＝34＋14cosx′＝－14sinx.[名师点拨]对于复杂函数求导，一般要遵循先化简再求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性.求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝xex－ex；(3)y＝lnxx.解：(1)y′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝ex＋xex－ex＝xex.(3)y′＝xx－lnxx2＝1－lnxx2.题型二求复合函数的导数求下列函数的导数．(1)y＝ln(2x2＋x)；(2)y＝sin2x＋π3.【思路探索】利用复合函数求导．【解】(1)y′＝yu′·ux′＝12x2＋x·(4x＋1)＝4x＋12x2＋x.(2)解法一：y＝sin2x＋π3＝1－cos2x＋23π2.y′＝12－12cos2x＋23π′＝12sin2x＋23π·2x＋23π′＝sin2x＋23π.解法二：y′＝2sinx＋π3·cosx＋π3·x＋π3′＝sin2x＋23π.[名师点拨]求复合函数的导数，应注意：(1)若函数的解析式的结构较复杂，应尽量先化简；(2)要正确分析函数的复合层次，找好中间变量；(3)求导时一般从外层开始，由外及里，逐层求导.求下列函数的导数．(1)y＝ln(2x＋5)；(2)y＝sinπ4－3x；(3)y＝e2x＋1.解：(1)y′＝12x＋5·(2x＋5)′＝22x＋5.(2)y′＝cosπ4－3x·π4－3x′＝－3cosπ4－3x＝－3cos3x－π4.(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1.题型三导数的综合应用(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求实数a的值．【思路探索】利用导数的几何意义求曲线在点(1，f(1))处的切线方程，切记需检验切线是否与x轴重合．【解】因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.[名师点拨]高考中对导数的考查，往往与其他知识相结合，解决此类问题的关键是能够熟练求出导数，再把问题转化为相应的知识求解.(2019·淮北一中月考)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D.a＝e－1，b＝－1解析：y′＝aex＋lnx＋1，y′|x＝1＝ae＋1，∴ae＋1＝2，∴a＝1e.又∵(1，ae)在y＝2x＋b上，a＝1e，(1,1)满足y＝2x＋b，1＝2＋b，∴b＝－1.故选D.答案：D即学即练稳操胜券课堂基础达标1．在下列四组函数中，导数相等的一组是()A．y＝sinx－cosx与y＝cosx－sinxB．y＝xex与y＝exxC．y＝lnx与y＝ln(x＋1)D．y＝3－2x与y＝ln2－2x＋3答案：D2．已知f′(x)是f(x)的导函数，f(x)＝sin2x，则f′π2＝()A．－2B．2C．0D.－1解析：∵f′(x)＝2cos2x，∴f′π2＝2cosπ＝－2，故选A.答案：A3．(2019·赤峰二中高二月考)函数y＝lnex1＋ex在x＝0处的导数为________．解析：因为y＝lnex1＋ex＝lnex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，则y′＝1－ex1＋ex.当x＝0时，y′＝1－11＋1＝12.答案：124．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)的导数为________．解析：∵f(x)＝ex(sinx＋cosx)，∴f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝2excosx.答案：2excosx5．求下列函数的导数．(1)y＝ln(x2－5x)；(2)y＝ex·3x－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1；(4)y＝(3x2＋5)ex.解：(1)y′＝[ln(x2－5x)]′＝1x2－5x·(x2－5x)′＝2x－5x2－5x.(2)y′＝(ex)′·3x＋ex·(3x)′－(2x)′＋e′＝ex·3x＋ex·3xln3－2xln2.(3)y′＝lnx′x2＋1－lnx·x2＋1′x2＋12＝x2＋1x－2x·lnxx2＋12＝x2－2x2lnx＋1xx2＋12.(4)y′＝(3x2＋5)′·ex＋(3x2＋5)·(ex)′＝6x·ex＋(3x2＋5)·ex＝(3x2＋6x＋5)·ex.