2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.2 导数的计算 课时作业5 导数的运算法则

课时作业5导数的运算法则知识对点练知识点一导数的运算法则1.函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4解析y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.解析答案D答案2．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2＋3x＋ex，则函数f(x)的表达式可以是()A．f(x)＝x3＋3x2＋lnxB．f(x)＝13x3＋32x2＋1x＋2C．f(x)＝13x3＋32x2＋ex＋3D．f(x)＝13x3＋32x2＋lnx＋3答案C答案解析对于A，f′(x)＝3x2＋6x＋1x；对于B，f′(x)＝x2＋3x－1x2；对于C，f′(x)＝x2＋3x＋ex；对于D，f′(x)＝x2＋3x＋1x.解析知识点二复合函数求导3.函数y＝12(ex＋e－x)的导数是()A.12(ex－e－x)B.12(ex＋e－x)C．ex－e－xD．ex＋e－x解析设u＝e－x，v＝－x，则ux′＝(ev)′(－x)′＝ev·(－1)＝－e－x，即y′＝12(ex－e－x)．解析答案A答案4．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x解析y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2·(－2sin2x)＝2xcos2x－2x2sin2x.解析答案B答案知识点三导数的综合应用5.函数y＝x(1－ax)2(a0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为________．解析y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]＝(1－ax)2－2ax(1－ax)．由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a)＝12a2－8a＋1＝5(a0)，解得a＝1.解析答案1答案6．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.答案1－ln2答案解析设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝1x1(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝1x2＋1(x－x2)，化简得y＝1x1x＋lnx1＋1，y＝1x2＋1·x－x2x2＋1＋ln(x2＋1)，依题意，得1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝－x2x2＋1＋lnx2＋1，解得x1＝12，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.解析课时综合练一、选择题1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为()A.193B.103C.133D.163解析∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4.∴a＝103.解析答案B答案2．下列求导数运算正确的是()A.x＋1x′＝1＋1x2B．(log2x)′＝1xln2C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx答案B答案解析对于A，x＋1x′＝1－1x2；对于B，由导数公式(logax)′＝1xlna知正确；对于C，(3x)′＝3xln3；对于D，(x2cosx)′＝2xcosx－x2(sinx)，故选B.解析3．函数y＝cos2x＋sinx的导数为()A．－2sin2x＋cosx2xB．2sin2x＋cosx2xC．－2sin2x＋sinx2xD．2sin2x－cosx2x解析y′＝－sin2x·(2x)′＋cosx·(x)′＝－2sin2x＋cosx2x.解析答案A答案4．已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.12解析因为y′＝x2－3x，所以根据导数的几何意义可知，x2－3x＝12，解得x＝3(x＝－2不符合题意，舍去)．解析答案A答案5．设函数f(x)＝sinθ3x3＋3cosθ2x2＋tanθ，其中θ∈0，5π12，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2]B．[2，3]C．[3，2]D．[2，2]答案D答案解析f′(x)＝sinθ·x2＋3cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sinθ＋π3.∵θ∈0，5π12，∴sinθ＋π3∈22，1，∴2sinθ＋π3∈[2，2]．解析二、填空题6．曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．解析∵f′(x)＝cosx＋ex，f′(0)＝cos0＋e0＝2，f(0)＝sin0＋e0＋2＝3，∴切线方程为y－3＝2x，即2x－y＋3＝0.解析答案2x－y＋3＝0答案7．已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，且它们的倾斜角互补，则a的值为________．答案278答案解析设切点坐标为(t，t3－at＋a)，切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a①.所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)②，将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝32，代入①式，得k＝－a或k＝274－a，由两条切线的倾斜角互补，知－a与274－a互为相反数，即－a＋274－a＝0，解得a＝278.解析8．已知f(x)＝exx，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．解析∵f′(x)＝ex′x－ex·x′x2＝exx－1x2(x≠0)，∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得ex0x0－1x20＋ex0x0＝0，解得x0＝12.解析答案12答案三、解答题9．求下列各函数的导数．(1)y＝cosx·lnx；(2)y＝sin22x＋π3；(3)y＝esin(ax＋b)．解(1)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋cosxx.答案(2)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cosv·2＝4sinvcosv＝2sin2v＝2sin4x＋2π3.(3)设y＝eu，u＝sinv，v＝ax＋b，则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cosv·a＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)．答案10．曲线y＝e2x·cos3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为5，求直线l的方程．解y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，∴k＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设符合题意的直线l方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，∴b＝6或－4.∴符合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.答案本课结束