2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.1 函数的平均变化率 1.1.2 瞬时

第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数学习目标核心素养1．理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(重点)2．理解瞬时变化率、导数的概念．(难点、易混点)3．会用导数的定义求函数的导数.1．通过函数平均变化率、瞬时变化率、导数概念的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助导数的定义求函数的导数，提升学生的数学运算素养.自主预习探新知一、函数的平均变化率函数的平均变化率的定义一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商＝ΔyΔx称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．fx0＋Δx－fx0Δx二、瞬时速度与导数1．物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．Δt趋近于0ft0＋Δt－ft0Δt二、瞬时速度与导数2．函数的瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx二、瞬时速度与导数记作：当Δx→0时，fx0＋Δx－fx0Δx→l.还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率l，记作limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝l.3．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在点x0的，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作，即f′(x0)＝.二、瞬时速度与导数瞬时变化率f′(x0)limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx4．函数的导数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个__________________．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为．二、瞬时速度与导数f′(x)或y′(或y′x)都是可导确定的导数f′(x)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不可为零．()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．()(3)ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．()(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．()(5)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上的变化快慢的物理量．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√(5)×2.如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为()A．1B．－1C．2D．－2[解析]ΔyΔx＝f3－f13－1＝－1．[答案]B3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________________．[解析]∵f(x)＝x2，∴函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→01＋Δx2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.[答案]2合作探究提素养求函数的平均变化率【例1】(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44(2)已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．[思路探究](1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)可得．(2)求Δx＝x2－x1→求Δy＝fx2－fx1→计算ΔyΔx[解析](1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41．[答案]B(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f2－f12－1＝2＋12－1＋11＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f5－f35－3＝5＋15－3＋132＝1415.因为121415，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用fx0＋Δx－fx0Δx的形式．1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2[解析]∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，∴ΔyΔx＝2Δx＋Δx2Δx＝2＋Δx，故选C.[答案]C求瞬时速度【例2】(1)以初速度v0(v00)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－12gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________．[思路探究]先求出ΔsΔt，再求limΔt→0ΔsΔt.[解析](1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20＝v0Δt－gt0Δt－12gΔt2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12gΔt，∴limΔt→0ΔsΔt＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴ΔsΔt＝2Δt3＋6Δt2＋6ΔtΔt＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴limΔt→0ΔsΔt＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.[答案](1)v0－gt0(2)61．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度v＝ΔsΔt；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．[解](1)初速度v0＝limΔt→0sΔt－s0Δt＝limΔt→03Δt－Δt2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3，即物体的初速度为3m/s.(2)v瞬＝llimΔt→0s2＋Δt－s2Δt＝llimΔt→032＋Δt－2＋Δt2－3×2－4Δt＝limΔt→0－Δt2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1m/s，方向与初速度方向相反．(3)v＝s2－s02－0＝6－4－02＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1m/s.求函数在某点处的导数[探究问题]一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．1．试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．提示：ΔsΔt＝8－31＋Δt2－8－3×12Δt＝－6－3Δt.2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？提示：当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．【例3】(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．[思路探究]求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．[解](1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝3Δx－Δx2Δx＝3－Δx，∴f′(－1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3－Δx)＝3.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)求极限，得导数为f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.简记为：一差、二比、三趋近．3．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．[解]∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－1－11＝Δx＋1－11＋Δx＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋11＋Δx＝2.当堂达标固双基1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则ΔyΔx的值为()A．4B．4xC．4＋2Δx2D．4＋2Δx[解析]ΔyΔx＝21＋Δx2－2×12Δx＝4＋2Δx.[答案]D2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3s末的瞬时速度是()A．7m/sB．6m/sC．5m/sD．8m/s[解析]∵ΔsΔt＝1－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32Δt＝5＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(5＋Δt)＝5(m/s)．[答案]C3．质点运动规律s＝12gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10m/s2)[解析]Δs＝12g×(3＋Δt)2－12g×32＝12×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝30＋5Δt.[答案]30＋5Δt4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，则常数a＝________.[解析]因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.[答案]25．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)ΔyΔx；(2)f′(1)．[解](1)ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx2＋3－12＋3Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.