2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 课时作业3 导数的几何意

课时作业3导数的几何意义知识对点练知识点一导数的几何意义1.下列说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案C答案解析k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.解析2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定答案B答案解析由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kAkB0.由导数的几何意义，得f′(xA)f′(xB).解析知识点二导函数的概念3.函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率解析根据函数在一点处的导数的定义，可知选C.解析答案C答案知识点三求曲线在某点处的切线方程4.若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝()A．1B．2C．3D．4答案C答案解析设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝limΔx→0[2x0＋Δx2－4x0＋Δx＋a]－2x20－4x0＋aΔx＝limΔx→0(4x0＋2Δx－4)＝4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋a＝1，即a＝3.解析5．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，f(0)＝2，则在点(1，f(1))处的切线方程为()A．2x－y＋1＝0B．2x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0D．2x＋y－1＝0解析因为f(x)＝ax2＋c，所以f′(1)＝limΔx→0a1＋Δx2＋c－a－cΔx＝limΔx→0(2a＋a·Δx)＝2a＝2，所以a＝1.又因为f(0)＝2，所以c＝2，所以f(x)＝x2＋2.所以f(1)＝3.故在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.解析答案A答案6．求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解由于点(－2，－1)恰好在曲线f(x)＝2x上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．而f′(－2)＝limΔx→0f－2＋Δx－f－2Δx答案＝limΔx→02－2＋Δx＋1Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.答案课时综合练一、选择题1．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()答案B答案解析从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中的切线斜率在不断增大，也即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．解析2．曲线y＝1x－1在点P(2,1)处的切线的倾斜角为()A.π6B.π4C.π3D.3π4解析Δy＝12＋Δx－1－12－1＝11＋Δx－1＝－Δx1＋Δx，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－11＋Δx＝－1，斜率为－1，倾斜角为3π4.解析答案D答案3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.又y′＝limΔx→0x＋Δx2＋ax＋Δx＋1－x2－ax－1Δx＝2x＋a，∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.解析答案A答案4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)或(－1，－4)D．(2,8)或(－1，－4)解析f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x－2Δx＝limΔx→03x2＋1Δx＋3xΔx2＋Δx3Δx＝3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x20＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．解析答案C答案5．与曲线y＝x2相切，且与直线x＋2y＋1＝0垂直的直线的方程为()A．y＝2x－2B．y＝2x＋2C．y＝2x－1D．y＝2x＋1解析设切点坐标为P(x0，y0)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝limΔx→0x0＋Δx2－x20Δx＝limΔx→0(2x0＋Δx)＝2x0.又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以2x0×－12＝－1，解得x0＝1，所以y0＝x20＝1，k＝2x0＝2，切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.故选C.解析答案C答案二、填空题6.如图是函数f(x)及f(x)在点P处的切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.答案98答案解析由题图可知f(x)在点P处的切线方程为y＝－98x＋92，所以f(2)＝94，f′(2)＝－98，所以f(2)＋f′(2)＝98.解析7．曲线y＝x2－x＋1在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标是________．解析k＝y′|x＝2＝limΔx→02＋Δx2－2＋Δx＋1－3Δx＝limΔx→03Δx＋Δx2Δx＝3.当x＝2时，y＝3，即切点为(2,3)，切线方程为y－3＝3(x－2)，令x＝0，则y＝－3.∴切线与y轴交点的纵坐标为－3.解析答案－3答案8．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为0，π4，则点P横坐标的取值范围为________．答案－1，－12答案解析∵f′(x)＝limΔx→0x＋Δx2＋2x＋Δx＋3－x2＋2x＋3Δx＝limΔx→02x＋2·Δx＋Δx2Δx＝limΔx→0(Δx＋2x＋2)＝2x＋2.∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－12，∴点P横坐标的取值范围为－1，－12.解析三、解答题9．已知曲线y＝f(x)＝1t－x上两点P(2，－1)，Q－1，12.(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；(2)求曲线在P，Q处的切线方程．解将点P(2，－1)代入y＝1t－x，得t＝1，所以y＝11－x.y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→011－x＋Δx－11－xΔx答案＝limΔx→0Δx[1－x＋Δx]1－xΔx＝limΔx→011－x－Δx1－x＝11－x2.(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝11－22＝1；曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝14.(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线方程为y－12＝14[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.答案10．已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．解∵f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0ax＋Δx2＋1－ax2＋1Δx＝2ax，∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.∵g′(x)＝limΔx→0ΔyΔx答案＝limΔx→0x＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bxΔx＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得a＝3，b＝3.答案本课结束