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第一章常用逻辑用语本章整合提升四种命题的形式和关系如下图：由于四种命题中互为逆否的两个命题同真假，故讨论四种命题的真假时，原命题和逆否命题只需讨论一个，逆命题和否命题也只需讨论一个，不必对四种命题的形式一一加以讨论．命题“若C＝90°，则△ABC为直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】∵原命题为真命题，∴其逆否命题也为真命题；其逆命题为“若△ABC为直角三角形，则C＝90°”，这是假命题，故其否命题也为假命题，故这4个命题中真命题有2个．【答案】C[名师点拨]关于四个命题的真假判断，除了直接对命题本身进行判断外，还可以根据命题的等价性进行判断．由四种命题的关系知，在命题的四种形式中，真命题的个数一定是偶数.充分条件与必要条件的判断是高考考查的重点内容，是每年高考的必考内容，一般以选择题为主，判断条件p与结论q之间的关系常用的方法有：(1)定义法①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据推式及定义下结论．(2)等价法将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|【解析】对于A，注意到当a＝－b时，a|a|≠b|b|；对于B，注意到当a∥b时，a|a|与b|b|可能不相等；对于C，当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|；对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时a|a|≠b|b|.综上所述，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是a＝2b.【答案】C(2019·北京十一中模拟)已知f(x)＝2sinωx－π3，则“∀x∈R，f(x＋π)＝f(x)”是“ω＝2”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵∀x∈R，f(x＋π)＝f(x)，∴f(x)＝2sinωx－π3的周期为π.∴2π|ω|＝π，∴ω＝±2.∴“∀x∈R，f(x＋π)＝f(x)”是“ω＝2”的必要不充分条件．【答案】C含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题，此部分是新教材改革后的新增内容，在高考中多以选择题、填空题形式为主．已知命题p：∀x1，x2∈R[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则﹁p是()A．∃x1，x2∈R[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D．∀x1，x2∈R[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0【解析】命题p为全称命题，所以其否定﹁p应是特称命题，又[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0否定为[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0，故选C.【答案】C已知命题p：“∃a0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“∃a∈R，使∀x∈R，16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．【解】若p为真，则抛物线f(x)＝ax2－4x(a0)的对称轴x＝－－42a＝2a在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0a≤1.若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数解．∴Δ＝[16(a－1)]2－4×16×10，即4a2－8a＋30，∴12a32.∵命题“p∧q”为真命题，∴0a≤1，12a32，∴12a≤1.故实数a的取值范围是12，1.本章涉及的数学思想主要是等价转化的思想，主要体现在以下几个方面：(1)原命题与逆否命题的等价转化；(2)充分条件与必要条件之间的转化；(3)含逻辑联结词的命题的真假与p，q真假的关系．已知命题p：x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)；命题q：x2＋2x－8＞0.若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解】由x2－4ax＋3a2＜0，得(x－a)(x－3a)＜0，∵a＜0，∴3a＜x＜a.由x2＋2x－8＞0，得x＞2或x＜－4.∵﹁p是﹁q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，∴a＜0，a≤－4，得a≤－4.∴实数a的取值范围是(－∞，－4]．