2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语本章整合提升课件 新人教A版选修1-1

第一章常用逻辑用语本章整合提升1.四种命题的形式及关系2．四种命题的真假关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，它们具有相同的真假性．因此，当一个命题不易判断真假时，可转化为其等价命题进行判断．从而达到化难为易的目的，同时也体现了等价转化的思想．(2019·吉林月考)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若tanα＝1，则α＝π4.其中为真命题的是(写出所有真命题的序号)________．【思路探索】判断命题真假时可以利用已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断，也可以利用互为逆否的等价关系进行判断命题．【解析】命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，①为真命题；不全等的三角形的面积不相等，②为假命题；③的原命题为真，所以它的逆否命题为真，③为真命题；若tanα＝1，则α＝kπ＋π4(k∈Z)，④为假命题．【答案】①③1.定义法条件(符号表示)p与q的关系p⇒q且qpp是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件p⇒q且q⇒p(p⇔q)p与q互为充要条件pq且qpp与q互为既不充分也不必要条件2.集合法：令A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}条件(符号表示)p与q的关系ABp是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件BAp是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件A＝Bp与q互为充要条件AB且BAp与q互为既不充分也不必要条件3．等价法：利用四种命题的等价关系判断“p⇒q”⇔“﹁q⇒﹁p”，“q⇒p”⇔“﹁p⇒﹁q”．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋b(a≠0，且a≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件．【思路探索】先由等比数列前n项和公式Sn＝a11－qn1－q＝a11－q－a11－qqn，对比知，b＝－1.再证明b＝－1时，{an}是等比数列．【解】当n＝1时，a1＝S1＝a＋b；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1(a－1)．∵a≠0且a≠1，∴an＋1an＝ana－1an－1a－1＝a.若{an}为等比数列，则a2a1＝an＋1an＝a，∴aa－1a＋b＝a，∴a－1＝a＋b，∴b＝－1.这是{an}为等比数列的必要条件．再证b＝－1是{an}为等比数列的充分条件．当b＝－1时，a1＝a－1，也适合an＝an－1(a－1)．∴an＝an－1(a－1)(n∈N＋)．则an＋1an＝a(n∈N＋)．∴{an}是等比数列．故b＝－1是{an}为等比数列的充要条件．1.常用的逻辑联结词有“且”“或”“非”．用其联结命题p，q，可构成形式分别为“p且q”“p或q”“非p”的命题．2．“命题的否定”与“否命题”的区别：命题的否定为非p，只否定命题p的结论；否命题既否定它的条件，又否定它的结论．3．命题p，q的运算“且”“或”“非”与集合P，Q的运算“交”“并”“补”相对应．(2019·六安月考)已知p：关于x的不等式x2－2x＋3m在12，2上恒成立，q：关于x的方程x2＋mx＋m＝0无实根，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【思路探索】先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围，再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况，写出满足条件的参数的取值范围．【解】若p为真，则(x2－2x＋3)minm，∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x＝1时，x2－2x＋3有最小值2，∴m2.若q为真，则Δ＝m2－4m0，即0m4.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p与q一真一假．若p真q假，则m2，m≥4或m≤0，则m≤0，若p假q真，则m≥2，0m4，则2≤m＜4，综上，实数m的取值范围为{m|m≤0或2≤m4}.1.含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．由于自然语言的不同，它们可能有不同的表述形式，在实际判断中要视情形而定．2．判断全称命题为真时，需要推理证明，而判断全称命题为假时，只需举出反例．判断特称命题为真时，需要举出正例，而判断特称命题为假时，需要推理证明．3．对于含有一个量词的命题进行否定时，既要更换量词，也要否定结论．因此，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．判断下列命题是全称命题，还是特称命题，写出命题的否定，并判断其真假．(1)有一个实数x0，使sin2x0＋cos2x0≠1；(2)∀x∈R，x2－x＋14≥0；(3)存在实数x0，使得1x20－x0＋1＝2；(4)任何一条直线都存在斜率；(5)与同一平面所成的角相等的两条直线平行．【思路探索】本题中既有全称命题又有特称命题，对它们进行否定，先要改变量词，再否定结论．【解】(1)是特称命题．否定：∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1，它是真命题．(2)是全称命题．否定：∃x0∈R，x20－x0＋140.∵x2－x＋14＝x－122≥0，∴它是假命题．(3)是特称命题．否定：∀x∈R，1x2－x＋1≠2.∵x2－x＋1＝x－122＋3412，∴它是真命题．(4)是全称命题．否定：存在一条直线不存在斜率，它是真命题．(5)是全称命题．省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，否定：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，是真命题．