搜索
第一章常用逻辑用语§2充分条件与必要条件2.4充要条件学习目标：1.理解充要条件的意义．(难点)2.掌握充分、必要、充要条件的应用．(重点、难点)3.区分充分不必要条件、必要不充分条件．(易混点)自主预习探新知1．充要条件如果，且，那么称p是q的充分必要条件，简称__________，记作．2．常见的四种条件(1)充分不必要条件，即且．(2)必要不充分条件，即且．(3)充要条件，即且．(4)既不充分也不必要条件，即且．p⇔qp⇒qq⇒p充要条件p⇒qqpqppqq⇒pp⇒qq⇒ppq思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示]p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1.判断正误(1)若p是q的充要条件，则q成立当且仅当p成立．()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．()(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．()[答案](1)√(2)√(3)√2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件A[解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．]3.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[在△ABC中，A＞B⇔a＞b，∴A＞B是a＞b的充要条件．]4.若“xa”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要条件，则a的取值范围是________．(－∞，－1][∵x2－2x－3≥0，∴x≥3或x≤－1.∵“xa”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要条件，∴a≤－1.]合作探究提素养充要条件的判断【例1】(1)设x∈R，则“x1”是“x31”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？①在△ABC中，p：∠A∠B，q：sinAsinB；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|3，q：x29.C[(1)由于函数y＝x3在R上是增函数，∴当x1时，x31成立，反过来，当x31时，x1也成立．故“x1”是“x31”的充要条件，故选C.](2)[解]①在△ABC中，显然有∠A∠B⇔sinAsinB，所以p是q的充要条件．②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．③由于p：|x|3⇔q：x29，所以p是q的充要条件．判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．1．(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0B．ab0C．a2＋b2＝0D．a2＋b20(2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________．(1)D(2)a－1[(1)a2＋b20，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b20.(2)函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a0，解得a－1.反之，若a－1，则Δ0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a－1.]充要条件的证明[探究问题]1．如何求一个问题的充要条件？[提示]求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合．这就要求我们转化的时候思维要缜密．2．充要条件的问题需要从哪两方面证明？[提示]充要条件的证明需要从充分性和必要性两方面证明，应分两步：证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性．【例2】试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.[思路探究]本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由ac0推证一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根和由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根推证ac0.[证明](1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac0，x1x2＝ca0(x1，x2为方程的两根)，所以ac0.(2)充分性：由ac0可推得Δ＝b2－4ac0及x1x2＝ca0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.(变条件)试证：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数的充要条件是b＝0.[证明](1)必要性：因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，所以bx＝0对任意的x都成立，即b＝0.(2)充分性：由b＝0可推得f(x)＝ax2＋c.所以f(－x)＝ax2＋c＝f(x)即二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数．综上所述，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数的充要条件是b＝0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．提醒：证明该类问题时，务必分清题设的条件与结论．当堂达标固双基1．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－12B．x＝－1C．x＝5D．x＝0D[a⊥b⇔2(x－1)＋2＝0⇔x＝0.]2．已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，得|a|2＝2，∴a＝±2.∴α是β的充要条件．]3．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________．－1[由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.]4．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空：(1)“m≠3”是“|m|≠3”的________；(2)“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的________；(3)“ab，cd”是“a－cb－d”的________．(1)必要不充分条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件[(1)|m|≠3⇒m≠±3，故“m≠3”是“|m|≠3”的必要不充分条件；(2)“四边形ABCD为平行四边形”可推出“AB∥CD”，反之，未必成立，故“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的充分不必要条件；(3)“ab，cd”“a－cb－d”，反之，未必成立，故“ab，cd”是“a－cb－d”的既不充分也不必要条件．]5．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.∴必要性成立．充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.