搜索
第一章常用逻辑用语§2充分条件与必要条件2.1充分条件与必要条件2.2充分条件与判定定理2.3必要条件与性质定理学习目标：1.理解充分条件、必要条件的概念．(重点)2.掌握充分条件、必要条件的判断．(易混点、难点)自主预习探新知充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系PqPq条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的必要条件充分⇒充分必要思考：(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？[提示]判定定理给出了结论成立的充分条件．(2)性质定理给出了结论成立的什么条件？[提示]性质定理给出了结论成立的必要条件.1.判断正误(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．()(2)若p是q的充分条件，则若p则q是真命题．()(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．()[答案](1)√(2)√(3)×2.下列命题中，真命题是()A．“x20”是“x0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|1”是“x2不小于1”的必要条件B[“x20”是“x0”的必要条件；“xy＝0”是“x＝0”的必要条件；“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要条件；“|x|1”是“x2不小于1”的充分条件．故选B.]3.若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件．充分[∵p⇒q，q⇒r，∴p⇒r.]4.“ab0”是“a0，b0”的________条件(填“充分”或“必要”)．必要[∵a0，b0，∴ab0.反之，不一定成立，故“ab0”是“a0，b0”的必要条件．]合作探究提素养充分条件【例1】(1)“a＋b2c”的一个充分条件是()A．ac或bcB．ac或bcC．ac且bcD．ac且bc(2)下列各题中，p是q的充分条件的是________．①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；③p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．(1)D(2)③[(1)ac且bc⇒a＋b2c，a＋b2cac且bc，故选D.(2)①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分条件．②∵两个三角形相似，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．③∵m＜－2，∴Δ＝12＋4m＜0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．]1．判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．2．除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．1．(1)“a＞b，b＞2”是“a＋b＞4，ab＞4”的________条件．(2)设命题甲为0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的________条件．(1)充分(2)充分[(1)由a＞b，b＞2⇒a＋b＞4，ab＞4，∴是充分条件．(2)解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5，∵0＜x＜5⇒－1＜x＜5，∴甲是乙的充分条件．]必要条件的判断【例2】在以下各题中，分析p与q的关系：(1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5；(2)p：y＝x2，q：函数是偶函数；(3)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．[思路探究]要判断p与q的关系，主要看是p⇒q，还是q⇒p.[解](1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．(3)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．1．判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．2．可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件．2．“0＜x＜5”的一个必要条件是()A．x＞5B．x2－5x＞0C．0＜x＜4D．x＜5D[∵0＜x＜5⇒x＜5，∴x＜5是0＜x＜5的一个必要条件．故选D.]充分条件与必要条件的应用[探究问题]1．从集合的角度如何判断充分条件、必要条件？[提示]设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.若A⊆B，就是说x具有性质p，则x必具有性质q，即p⇒q，p是q的充分条件．同理，若B⊆A，即q⇒p，p是q的必要条件．2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？[提示]不同.若p是q的充分条件则p是条件，q是结论；若p的充分条件是q，则p是结论，q是条件．【例3】已知p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．[思路探究]q是p的必要条件等价于p⇒q，可借助集合的知识求解．[解]由x2－4ax＋3a20且a0得3axa，所以p：3axa，即集合A＝{x|3axa}．由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以3a≥－2，a≤3，a0⇒－23≤a0，所以a的取值范围是－23，0.1.(变条件)本例中条件“a0”改为“a0”，若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．[解]由x2－4ax＋3a20且a0得ax3a，所以p：ax3a，即集合A＝{x|ax3a}．由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为q是p的充分条件，所以q⇒p，所以B⊆A，所以3a≥3，a≤－2，⇒a∈.a02.(变条件)将“q：实数x满足x2－x－6≤0”改为“q：实数x满足x2＋3x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围．[解]由x2－4ax＋3a20且a0得3axa.所以p：3axa，即集合A＝{x|3axa}．由x2＋3x≤0得－3≤x≤0，所以q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以3a≥－3，a≤0，a0⇒－1≤a0.所以a的取值范围是[－1，0)．充分条件与必要条件的应用技巧1．应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．2．求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．当堂达标固双基1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．无法判断A[由(a－1)(a－2)＝0得a＝1或a＝2，所以“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分条件，故选A.]2．设x∈R，则x2的一个必要条件是()A．x1B．x1C．x3D．x3A[x2⇒x1，∴x1是x2的必要条件．]3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件D．无法判断A[∵乙⇒甲，丙⇒乙，乙丙，∴丙⇒甲，甲丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A.]4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac0”的________．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的_______．(1)必要条件(2)充分条件[(1)当ac0时，Δ＝b2－4ac0，此时ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，反之不一定成立，故“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac0”的必要条件．(2)△ABC≌△A′B′C′可推出△ABC∽△A′B′C′，反之不一定成立，故“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件．]5．若“xm”是“(x－1)(x－2)0”的充分不必要条件，求m的取值范围．[解]由(x－1)(x－2)0可得x2或x1，由已知条件，知{x|xm}{x|x2或x1}．∴m≤1.