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第一章常用逻辑用语1．4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解全称量词与存在量词的意义，会用符号语言表达全称命题与特称命题，并能判断全称命题与特称命题的真假．2．通过对全称命题、特称命题的判断，掌握这两种命题的判定方法．‖知识梳理‖1．全称量词和全称命题全称量词所有的、_________、_________、每一个…符号表示_________全称命题含有_________的命题表示形式对M中任意一个x，有p(x)成立，可用符号简记为“_______________”任意一个一切∀全称量词∀x∈M，p(x)2.存在量词和特称命题存在量词存在一个、_________、_________…符号表示_________特称命题含有_________的命题表示形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可用符号记为“______________”至少有一个有些∃存在量词∃x0∈M，p(x0)解剖难点探究提高重点难点突破1．全称命题与特称命题的辨析同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择．有的命题省略全称量词，但仍是全称命题．例如：“实数的绝对值是非负数”，省略了全称量词“任意”．但它仍然是全称命题．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具体意义去判断．2．全称命题与特称命题的真假要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一全称命题与特称命题的判定判断下列语句是全称命题还是特称命题：(1)有一个实数a，a不能取对数；(2)有的向量方向不确定；(3)自然数的平方是正数；(4)所有不等式的解集A，有A⊆R；(5)y＝cos2x是周期函数吗？【思路探索】利用全称命题与特称命题的概念来判断．【解】∵(1)(2)含有特称量词，∴命题(1)(2)是特称命题；又∵“自然数的平方是正数”实际上是“任意一个自然数的平方都是正数”，∴(3)(4)均含有全称量词，故为全称命题；(5)不是命题．综上所述，(1)(2)为特称命题，(3)(4)为全称命题，(5)不是命题．[名师点拨]判断一个语句是全称命题还是特称命题的方法步骤：①判断该语句是否是命题；②看命题中是否含有量词，该量词是全称量词还是特称量词；③对不含或省略量词的命题，要根据命题所涉及的实际意义进行判断.下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3解析：D中含有特称量词“存在”．故选D.答案：D题型二全称命题与特称命题的表述(1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角和为360°.试用不同的表述写出全称命题“∀x∈S，p(x)”；(2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表述方法写出特称命题“∃x0∈R，q(x0)”．【思路探索】本题第(1)题表述为全称命题，第(2)题表述为特称命题，可选择合适的量词用不同的方式表述．【解】(1)依题意可得以下几种不同的表述：对所有的四边形x，x的内角和为360°；对一切四边形x，x的内角和为360°；每一个四边形x的内角和都为360°；任一个四边形x的内角和为360°；凡是四边形x，它的内角和都为360°.(2)依题意可得以下几种不同的表述：存在实数x0，使x20＝x0成立；至少有一个x0∈R，使x20＝x0成立；对有些实数x0，使x20＝x0成立；有一个x0∈R，使x20＝x0成立；对某一个x0∈R，使x20＝x0成立．[名师点拨]同一个全称命题或特称命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：命题全称命题“∀x∈A，p(x)”特称命题“∃x0∈A，p(x0)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立②对一切x∈A，p(x)成立③对每一个x∈A，p(x)成立④任意一个x∈A，p(x)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立①存在x0∈A，使p(x0)成立②至少有一个x0∈A，使p(x0)成立③对某些x0∈A，p(x0)成立④对某个x0∈A，p(x0)成立⑤有一个x0∈A，使p(x0)成立将下列各题用量词符号“∀”或“∃”表示．(1)整数中0最小；(2)对于某些实数x，有3x＋12；(3)方程ax2＋2x＋1＝0(a1)至少有一个负根；(4)实数都能写成小数的形式．解：(1)∀x∈Z，x≥0.(2)∃x0∈R,3x0＋12.(3)∃x00，ax20＋2x0＋1＝0(a1)．(4)∀x∈R，x能写成小数的形式．题型三判断全称命题与特称命题的真假(1)(2019·曲靖月考)有四个关于三角函数的命题：p1：∃x0∈R，sin2x02＋cos2x02＝12p2：∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0p3：∀x∈[0，π]1－cos2x2＝sinxp4：sinx＝cosy⇒x＋y＝π2其中假命题的是()A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p2，p3(2)(2019·江阴期中)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋x＋a)0恒成立，命题q：∃x0∈[－2,2]使得2a≤2x0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围为________．【思路探索】判断全称命题与特殊命题的真假时常用找一特例来判断．【解析】(1)∵sin2x02＋cos2x02＝1，∴p1为假；当x0＝π3，y0＝0时，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0，∴p2为真；1－cos2x2＝sin2x＝sinx(x∈[0，π])，∴p3为真；当x＝3π4，y＝π4时，sinx＝cosy，但x＋y≠π2，∴p4为假，故选A.(2)若命题p为真，则x2＋x＋a1恒成立，∴Δ＝1－4(a－1)0，即a54；若q为真，则a≤2.∵p∧q为真，∴54a≤2.【答案】(1)A(2)54，2[名师点拨](1)全称命题的真假判断方法：要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需找到M中一个元素x0，使得p(x0)不成立即可．(2)特称命题的真假判断方法：要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题，即对于∀x∈M，p(x)都不成立.(1)(2019·北京海淀期中)已知ab，则下列结论中正确的是()A．∀c0，ab＋cB．∀c0，ab＋cC．∃c00，ab＋c0D．∃c00，ab＋c0(2)已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋10.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(﹁q)”是假命题；③命题“(﹁p)∨q”是真命题；④命题“(﹁p)∨(﹁q)”是假命题．其中正确的是()A．②④B．②③C．③④D．①②③解析：(1)∵ab，若c0，则ab＋c，∴D正确．(2)易知p为假命题，q为真命题，所以﹁p为真命题，﹁q为假命题，故“p∧q”为假命题．“p∧(﹁q)”为假命题，“(﹁p)∨q”为真命题，“(﹁p)∨(﹁q)”是真命题，故选②③.答案：(1)D(2)B即学即练稳操胜券课堂基础达标1．命题“∀x∈[1,2]x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5解析：若∀x∈[1,2]x2－a≤0为真命题，则(x2－a)max≤0，∴4－a≤0，∴a≥4，∴命题的一个充分不必要条件是a≥5，故选C.答案：C2．(2019·西安月考)已知命题p：对任意x0，总有sinxx，命题q：直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：x＋(a－1)y－1＝0，若l1∥l2，则a＝2或a＝－1.则下列命题中是真命题的是()A．p∧qB．(﹁p)∧(﹁q)C．(﹁p)∨qD．p∨q解析：命题p为真命题，命题q中，若l1∥l2，则a1＝2a－1≠1－1，∴a＝2，∴q为假命题，∴p∨q为真命题，故选D.答案：D3．下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝1C．∀x∈R，x30D．∀x∈R,2x0解析：当x∈R时，x3∈R，故选C.答案：C4．命题“∃x0∈R，x203”不可以表述为()A．有一个x0∈R，使得x203B．对一些x0∈R，使得x203C．任取一个x∈R，使得x23D．至少有一个x0∈R，使得x203解析：原命题“∃x0∈R，x203”是特称命题，“有一个x0∈R”，“对一些x0∈R”，“至少有一个x0∈R”都与“∃x0∈R”意义相同，而“任取一个x∈R，使得x23”是全称命题，所以C表述不正确．答案：C5．(2019·启东期末)若“存在x0∈[－1,1]a·3x0＋2x0＋10成立”为真命题，则a的取值范围是________．解析：若“存在x0∈[－1,1]a·3x0＋2x0＋10成立”为真命题，即存在x0∈[－1,1]－a23x0＋13x0成立，∴－a23x0＋13x0max，∵函数y＝23x＋13x为减函数，即最大值为92，∴－a92，∴a－92.答案：－92，＋∞