2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词课件 新人教A版选修

第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词学习目标核心素养1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点、难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)1.通过全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题相关概念的学习，培养学生数学抽象核心素养.2.借助相关命题的真假判断及由命题的真假求参数，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.自主预习探新知1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“”表示．(2)含有的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为________________．x∈M，p(x)全称量词全称量词2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做___________，并用符号“__”表示．(2)含有的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“________________”．x0∈M，p(x0)存在量词存在量词思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．[提示](1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax20＋2x0＋1＝0”．(2)是全称命题，可改写成：“x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0”．3．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定¬p：______________；特称命题p：x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：______________．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．x0∈M，¬p(x0)x∈M，¬p(x)1．下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3D[命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]2．下列命题中特称命题的个数是()①至少有一个偶数是质数；②x0∈R，log2x0＞0；③有的向量方向不确定．A．0B．1C．2D．3D[①中含有存在量词“至少”，所以是特称命题；②中含有存在量词符号“”，所以是特称命题；③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．]3．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“¬p”形式的命题是()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根[答案]C4．下列四个命题中的真命题为()A．x0∈Z，14x03B．x0∈Z，5x0＋1＝0C．x∈R，x2－1＝0D．x∈R，x2＋x＋20D[当x∈R时，x2＋x＋2＝x＋122＋740，故选D.]合作探究提素养全称命题和特称命题的概念及真假判断【例1】指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)x∈N，2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使1x0－1＝0；(3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角α，使sinα1.[解](1)是全称命题，因为x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使1x0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．(4)是特称命题，因为α∈R，sinα∈[－1，1]，所以该命题是假命题．1．判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词；(2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．2．全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定特称命题“x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x2B[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有1x0，所以D是假命题．](2)下列命题中，真命题是()A．x∈0，π2，sinx＋cosx≥2B．x∈(3，＋∞)，x22x＋1C．x∈R，x2＋x＝－1D．x∈π2，π，tanxsinxB[对于选项A，sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2，∴此命题不成立；对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x3时，(x－1)2－20，∴此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝x＋122＋340，∴x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命题不成立；对于选项D，当x∈π2，π时，tanx0，sinx0，命题显然不成立．故选B.]含有一个量词的命题的否定【例2】(1)命题“x∈R，x2≠x”的否定是()A．xR，x2≠xB．x∈R，x2＝xC．xR，x2≠xD．x∈R，x2＝x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：①p：x∈R，x2－x＋14≥0；②p：所有的正方形都是菱形；③p：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.思路探究：先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．(1)D[原命题的否定为x∈R，x2＝x，故选D.](2)解：①¬p：x0∈R，x20－x0＋140，假命题．因为x∈R，x2－x＋14＝x－122≥0恒成立．②¬p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．③¬p：x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为x＝－1时，x3＋1＝0.对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．2．(1)命题“x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．x(0，＋∞)，lnx＝x－1C．x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．x0(0，＋∞)，lnx0＝x0－1A[特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1.](2)写出下列命题的否定，并判断其真假．①p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；②q:存在一个实数x0，使得x20＋x0＋1≤0；③r：等圆的面积相等，周长相等；④s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[解]①这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是¬p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以¬p是真命题．②这一命题的否定形式是¬q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得¬q是真命题．③这一命题的否定形式是¬r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知¬r是假命题．④这一命题的否定形式是¬s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以¬s是假命题.由全称(特称)命题的真假确定参数的范围[探究问题]1．若含参数的命题p是假命题，如何求参数的取值范围？[提示]先求¬p，再求参数的取值范围．2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？[提示]全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．【例3】(1)若命题p“x∈R，2x2－3ax＋90”为假命题，则实数a的取值范围是________．(2)已知命题p：x∈R，9x－3x－a＝0，若命题p是真命题，求实数a的取值范围．思路探究：(1)先求¬p，再求参数的取值范围．(2)令3x＝t，看作一元二次方程有解问题．(1)－22，22[¬p：x∈R，2x2－3ax＋9≥0为真命题．则Δ＝9a2－72≤0，解得－22≤a≤22.](2)解：设3x＝t，由于x∈R，则t∈(0，＋∞)，则9x－3x－a＝0⇔a＝(3x)2－3x⇔a＝t2－t，t∈(0，＋∞)，设f(t)＝t2－t，t∈(0，＋∞)，则f(t)＝t－122－14，当t＝12时，f(t)min＝－14，则函数f(t)的值域是－14，＋∞，所以实数a的取值范围是－14，＋∞.1．若将本例题(2)条件“x∈R”，改为“x∈[0，1]”，其他条件不变，试求实数a的取值范围．[解]设3x＝t，x∈[0，1]，∴t∈[1，3]．a＝t2－t，∵t2－t＝t－122－14，∴a＝t2－t在t∈[1，3]上单调递增．∴t2－t∈0，6.即a的取值范围是0，6.2.将本例题(2)换为“x∈0，π4，tanx≤m是真命题”，试求m的最小值．[解]由已知可得m≥tanxx∈0，π4恒成立．设f(x)＝tanxx∈0，π4，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为fπ4＝tanπ4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．2．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“＜”．3．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.当堂达标固双基1．下列命题中是全称命题，且为假命题的是()A．存在x0∈R，sinx0＋cosx0＝2B．偶函数图象关于y轴对称C．m∈R，x2＋mx＋1＝0无解D．x∈N，x3＞x2D[A，C中命题是特称