2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.3.1 且 1.3.2 或 1.3.3 非

第一章常用逻辑用语1．3简单的逻辑联结词1．3.1且(and)1．3.2或(or)1．3.3非(not)梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义．2．理解形如p且q、p或q、非p的命题．3．掌握含简单逻辑联结词的真假判断．‖知识梳理‖1．逻辑联结词把两个命题联结而成新命题的常用逻辑联结词有_______________________.2．简单命题与复合命题(1)不含逻辑联结词的命题叫做__________________.(2)由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做_________.复合命题一般有三种类型：①p且q；②p或q；③非p.“且”、“或”、“非”简单命题复合命题(3)复合命题的真假pqp∧qp∨q﹁p真真___________________________真假假真假假真___________________________假假假假真真真假假真真此表称为“真值表”，从表中易知：①p且q同真才真，其他均假；②p或q同假才假，其他均真；③非p与p真假相反．解剖难点探究提高重点难点突破1．对逻辑联结词“或”的理解“或”与日常生活用语中的“或”意义不同，日常生活用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息；而逻辑联结词中“或”含有“同时兼有”的意思，如x－1或x2.因此“p或q”的含义有三层意思：①p成立q不成立；②p不成立q成立；③p与q同时成立．2．对逻辑联结词“非”的理解“非”是否定的意思，如“3是非偶数”是对命题“3是偶数”进行否定而得出的新命题．一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语与它的否定如下表：正面词语等于大于是都是任意的至多有一个否定词语不等于不大于不是不都是某一个至少有两个3.逻辑联结词与集合的运算集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”有密切关系，设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，可有如下关系：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}＝{x|p∧q}；A∪B＝{x|x∈A或x∈B}＝{x|p∨q}；∁UA＝{x|x∈U且x∉A}＝{x|﹁p}．4．命题的否定形式与否命题的关系命题的否定与否命题都是对关键词进行否定，但有如下区别：(1)定义不同命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对命题的条件和结论都否定后组成的新命题．(2)构成形式不同对于“若p，则q”形式的命题，其否定形式为“若p，则﹁q”，即不改变条件，只否定结论；而其否命题的形式为“若﹁p，则﹁q”，即对命题的条件和结论都否定．(3)与原命题的真假关系命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假；而否命题的真假与原命题的真假没有必然联系．(4)“p或q”的否定是“非p且非q”，“p且q”的否定是“非p或非q”．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一命题的构成分别写出由下列命题构成的“p∧q”，“p∨q”，“﹁p”形式的命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；(3)p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1，q：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2.【思路探索】利用逻辑联结词把p和q联结起来，写出各组命题构成的“p∧q”，“p∨q”，“﹁p”命题．【解】(1)“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“﹁p”：π不是无理数．(2)“p∧q”：12是3的倍数且是4的倍数；“p∨q”：12是3的倍数或是4的倍数；“﹁p”：12不是3的倍数．(3)“p∧q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1且方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“p∨q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“﹁p”：方程x2－3x＋2＝0的根不是x＝1.[名师点拨](1)正确理解“且”“或”“非”这些逻辑联结词是解决这种问题的关键．给定两个简单命题，首先用“且”“或”“非”去联结，再调整句子，尽量使语句通顺，千万不要直接简单地联结，修饰一下语句会更好．(2)本例(3)中“p∨q”形式的命题不能写成“方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或x＝2”，显然p、q均为假命题，p∨q也应为假命题，而上述命题是真命题.试写出下列命题中的p，q.(1)梯形有一组对边平行且相等；(2)方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；(3)一元二次方程至少有三个根．解：(1)是p且q形式的命题．p：梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．(2)是p或q形式的命题．p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根；q：方程x2＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等．(3)是﹁p的形式．p：一元二次方程最多有两个根．题型二复合命题的真假判断分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的命题的真假：(1)p：π3，q：π2；(2)p：若x≠0，则xy≠0，q：若y≠0，则xy≠0；(3)p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边；(4)p：函数y＝x12的定义域为R，q：函数y＝x2是偶函数．【思路探索】先判断简单命题p、q的真假，再判断复合命题“p∧q”，“p∨q”，“﹁p”的真假．【解】(1)∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，p∨q是真命题，﹁p是假命题．(2)∵p是假命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，p∨q是假命题，﹁p是真命题．(3)∵p是真命题，q是真命题，∴p∧q是真命题，p∨q是真命题，﹁p是假命题．(4)∵p是假命题，q是真命题，∴p∧q是假命题，p∨q是真命题，﹁p是真命题．[名师点拨]判断复合命题真假的方法步骤：(1)确定命题的构成形式，是p∧q，p∨q还是﹁p；(2)判断p、q的真假；(3)根据真值表判断复合命题的真假.(1)命题p：若ac2bc2，则ab，命题q：在△ABC中，若A≠B，则sinA≠sinB，下列选项正确的是()A．p假q真B．p真q假C．“p或q”为假D．“p且q”为真(2)(2019·武汉检测)已知命题p：不等式－x2＋2x0的解集是{x|x0或x2}，命题q：在△ABC中，AB是sinAsinB的充要条件，则()A．p真q假B．p∨q假C．p∧q真D．p假q真解析：(1)p为真命题，q为真命题，∴p且q为真，故选D.(2)由－x2＋2x0，得x2或x0，故p为真命题，在△ABC中，AB⇔sinAsinB，故q为真命题，所以p∧q为真，故选C.答案：(1)D(2)C题型三命题的否定与否命题写出下列命题的否定与否命题，并判断真假．(1)若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为0；(3)等腰三角形有两个内角相等．【思路探索】利用非p与否命题的定义作答．【解】(1)命题的否定：若abc＝0，则a，b，c中都不为0，为假命题；否命题：若abc≠0，则a，b，c都不为0，为真命题．(2)命题的否定：若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0，为假命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0，为真命题．(3)命题的否定：等腰三角形的任意两个内角都不相等，为假命题；否命题：不是等腰三角形的三角形中任意两个角都不相等，为真命题．[名师点拨]一个命题“若p，则q”的否定是“若p，则﹁q”；否命题是“若﹁p，则﹁q”.“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________________；否命题是________________________．解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，因此否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除题型四逻辑联结词“或”“且”“非”的应用(2019·盐城月考)设命题p：lna0；命题q：函数y＝ax2－x＋a的定义域为R.(1)若命题q是真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p或q是真命题，命题p且q是假命题，求实数a的取值范围．【思路探索】根据复合命题的“真值表”判断p与q的真假，再构造不等式组，求解．【解】(1)对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；当a≠0时，不等式恒成立的条件是@a0，Δ＝－12－4a×a≤0，解得a≥12.所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝aa≥12.(2)若命题p为真，则0a1，由“p或q是真命题，p且q是假命题”可知，命题p，q一真一假，当p真q假时，由0a1，a12，得0a12；当p假q真时，由a≤0或a≥1，a≥12，得a≥1.综上，实数a的取值范围是0，12∪[1，＋∞)．[名师点拨]解答此类题的方法步骤：(1)求出命题p，q为真时参数满足的条件；(2)根据命题p∧q，p∨q的真假判断命题p，q的真假；(3)根据p，q的真假构造不等式组，解不等式组得出参数的取值范围.(2019·上饶月考)已知a0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：二次函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．解：若函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，则0a1，∴p：0a1.若曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点，则(2a－3)2－40，即a12或a52.∴q：a12或a52.若p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p与q一真一假，若p真q假，由0a1，12≤a≤52，a0且a≠1，得a∈12，1.若p假q真，由a≤0或a≥1，a12或a52，a0且a≠1，得a∈52，＋∞.综上，a的取值范围为12，1∪52，＋∞.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．已知命题p：x∈A∪B，则﹁p是()A．x∉A∪BB．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉BD．x∈A∩B解析：由x∈A∪B，知x∈A或x∈B.﹁p是：x∉A且x∉B.故选C.答案：C2．(2019·鄱阳一中阶段性检测)已知p：|x＋1|2，q：xa，则﹁p是﹁q的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．a≥1B．a≤1C．a≥－3D．a≤－3解析：由|x＋1|2，得x－3或x1，∵﹁p是﹁q的充分不必要条件，∴﹁p⇒﹁q，∴q⇒p，∴a≥1，故选A.答案：A3．设p，q是两个命题，若﹁(p∨q)是真命题，那么()A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是假命题且q是假命题解析：﹁(p∨q)是真命题，则p∨q是假命题，故p，q均为假命题．答案：D4．(2019·大庆月考)下列三个结论：①命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”；②若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件．其中正确结论的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”，即①正确；由p是q的充分不必要条件，可得由p能推出q，但是q不能推出p，所以﹁q能推出﹁p，﹁p不能推出﹁q，故﹁q是﹁p的充分不必要条件，即②正确；若p∧q为真，则p，q都为真，所以p∨q为真；若p∨q为真，则p，q至少有一个为真，所以“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，即③错误．故选C.答案：C5．已知命题p：若ab，则a2b2，命题q：若ab，则ac2bc2，下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧(