第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词学习目标核心素养1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义.(重点)2.能够判断命题“p∧q”“p∨q”“¬p”的真假.(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题,会判断命题的真假.(易错点)1.通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的意义的学习,培养学生的数学抽象素养.2.借助含逻辑联结词命题的真假判断及应用,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.自主预习探新知1.“且”(1)定义一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作.读作“”.(2)真假判断当p,q都是真命题时,p∧q是;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,p∧q是.p∧qp且q假命题真命题2.“或”(1)定义一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作.读作“”.(2)真假判断当p,q两个命题有一个命题是真命题时,p∨q是;当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是.假命题p∨qp或q真命题思考1:(1)p∨q是真命题,则p∧q是真命题吗?(2)若p∨q与p∧q一个是真命题,一个是假命题,那么谁是真命题?[提示](1)不一定,p∨q是真命题,p与q可能一真一假,此时p∧q是假命题.(2)p∨q是真命题,p∧q是假命题.3.“非”(1)定义一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作,读作“”或“”.(2)真假判断若p是真命题,则¬p必是;若p是假命题,则¬p必是_________.¬p非pp的否定假命题真命题思考2:命题的否定与否命题的区别是什么?[提示](1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定,而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.(2)命题的否定(¬p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的,即一真一假,而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系.4.复合命题用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题.复合命题的真假判断pqp∨qp∧q¬p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真1.“xy≠0”是指()A.x≠0且y≠0B.x≠0或y≠0C.x,y至少一个不为0D.x,y不都是0A[xy≠0⇔x≠0且y≠0,故选A.]2.已知p,q是两个命题,若“(¬p)∨q”是假命题,则()A.p,q都是假命题B.p,q都是真命题C.p是假命题,q是真命题D.p是真命题,q是假命题D[若(¬p)∨q为假命题,则¬p,q都是假命题,即p真q假,故选D.]3.已知p:{0},q:{2}∈{1,2,3}.由它们构成的新命题“¬p”“¬q”“p∧q”“p∨q”中,真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个B[∵p真,q假,∴¬p假,¬q真,p∨q真,p∧q假.]4.“5≥5”是________形式的新命题,它是________(“真”或“假”)命题.p∨q真[5≥5,即5>5或5=5.]合作探究提素养含有逻辑联结词的命题结构【例1】指出下列命题的形式及构成它的简单命题.(1)方程x2-3=0没有有理根;(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形;(3)±1是方程x3+x2-x-1=0的根.[解](1)这个命题是“¬p”形式的命题,其中p:方程x2-3=0有有理根.(2)这个命题是“p∧q”形式的命题,其中p:有两个内角是45°的三角形是等腰三角形,q:有两个内角是45°的三角形是直角三角形.(3)这个命题是“p∨q”形式的命题,其中p:1是方程x3+x2-x-1=0的根,q:-1是方程x3+x2-x-1=0的根.1.判断一个命题的结构,不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“非”等逻辑联结词,而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题.2.用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词,选择合适的联结词,有时为了语法的要求及语句的通顺,也可进行适当的省略和变形.1.分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题.(1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等;(2)p:-1是方程x2+4x+3=0的解,q:-3是方程x2+4x+3=0的解.[解](1)p∧q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等.p∨q:梯形有一组对边平行或有一组对边相等.¬p:梯形没有一组对边平行.(2)p∧q:-1与-3是方程x2+4x+3=0的解.p∨q:-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.¬p:-1不是方程x2+4x+3=0的解.含逻辑联结词命题的真假判断【例2】已知命题p:方程x2-2ax-1=0有两个实数根;命题q:函数f(x)=x+4x的最小值为4.给出下列命题:①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨(¬q).则其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4思路探究:判断p,q的真假→判断¬p,¬q的真假→判断所给命题的真假C[由于Δ=(-2a)2-4×1×(-1)=4a2+40,所以方程x2-2ax-1=0有两个实数根,所以命题p是真命题;当x0时,f(x)=x+4x0,所以命题q为假命题,所以p∨q,p∧(¬q),(¬p)∨(¬q)是真命题,故选C.]含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤(1)我们可以用口诀记忆法来记忆:“p∧q”全真才真,一假必假;“p∨q”全假才假,一真必真;“¬p”与p真假相对.(2)判断复合命题真假的步骤:①确定复合命题的构成形式是“p∧q”“p∨q”还是“¬p”;②判断其中的简单命题p,q的真假;③根据真值表判断复合命题的真假.2.(1)已知命题p:若xy,则-x-y;命题q:若xy,则x2y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是()A.①③B.①④C.②③D.②④C[由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,故①p∧q为假命题,②p∨q为真命题,③¬q为真命题,则p∧(¬q)为真命题,④¬p为假命题,则(¬p)∨q为假命题.](2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题的真假.①p:1∈{2,3},q:2∈{2,3};②p:2是奇数,q:2是合数;③p:4≥4,q:23不是偶数;④p:不等式x2-3x-100的解集是{x|-2x5},q:不等式x2-3x-100的解集是{x|x5或x-2}.[解]①∵p是假命题,q是真命题,∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,¬p是真命题.②∵p是假命题,q是假命题,∴p∨q是假命题,p∧q是假命题,¬p是真命题.③∵p是真命题,q是真命题,∴p∨q是真命题,p∧q是真命题,¬p是假命题.④∵p是真命题,q是假命题,∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,¬p是假命题.由复合命题的真假求参数的取值范围[探究问题]1.设集合A是p为真命题时参数的取值范围,则p为假命题时,参数的取值范围是什么?[提示]p为假命题时,参数的取值范围是RA.2.设集合M、N分别是p,q分别为真命题时参数的取值范围,则p∨q与p∧q分别为真命题时,参数的取值范围分别是什么?[提示]当p∨q为真命题时,参数的取值范围是A∪B.当p∧q为真命题时,参数的取值范围是A∩B.【例3】已知p:关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,q:关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求m的取值范围.思路探究:分别求当p、q为真时m的范围→根据p∨q,p∧q的真假分析p、q的真假→得出m的范围[解]当x2+mx+1=0有两个不相等的负根为真时,m2-40,-m0,解得m2,当4x2+4(m-2)x+1=0无实根为真时,16(m-2)2-160,解得1m3.因为p∧q为假命题,p∨q为真命题,所以p与q一真一假.若p真q假,则m2,m≥3或m≤1,所以m≥3.若p假q真,则m≤2,1m3,所以1m≤2.所以m的取值范围为(1,2]∪[3,+∞).1.本例题条件不变,试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围.[解]由例题知,当p为真时,m2,当q为真时1m3,则当p∨q为真命题时,m1,当p∧q为真命题时,2m3.2.本例题中,若命题p改为“关于x的不等式ax1(a0,且a≠1)的解集是{x|x0},命题q改为“函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R”.其他条件不变,试求a的取值范围.[解]根据关于x的不等式ax1(a0,且a≠1)的解集为{x|x0}知0a1,由函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,知不等式ax2-x+a0的解集为R,则a0,1-4a20,解得a12.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题.所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”.故a1,a12或0a1,a≤12.解得0a≤12或a1.所以a的取值范围是0,12∪(1,+∞).根据命题的真假求参数范围的步骤(1)求出p、q均为真时参数的取值范围;(2)根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假;(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键,日常用语中的“或”是两个任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的“或”是两个至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤:(1)逐一判断命题p,q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”,“p∨q”的真假.p∧q为真⇔p和q同时为真,p∨q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真,则“¬p”为假;若p为假,则“¬p”为真,类比集合知识,“¬p”就相当于集合p在全集U中的补集Up.因此(¬p)∧p为假,(¬p)∨p为真.4.命题的否定只否定结论,否命题既否定结论又否定条件,要注意区别.当堂达标固双基1.若命题“p∧q”为假,且¬p为假,则()A.p∨q为假B.q假C.q真D.p假B[由¬p为假知,p为真,又p∧q为假,则q假,故选B.]2.给出下列命题:①21或13;②方程x2-2x-4=0的判别式大于或等于0;③25是6或5的倍数;④集合A∩B是A的子集,且是A∪B的子集.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4D[对于①,是“或”命题,且21是真命题,故①是真命题.对于②,是“或”命题,且Δ=(-2)2+16=200,故②是真命题.对于③,是“或”命题,且25是5的倍数,故③是真命题.对于④,是“且”命题,且集合A∩B是A的子集,也是A∪B的子集.故④是真命题,故选D.]3.已知命题:p:对任意x∈R,总有2x0;q:“x1”是“x2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.¬p∧¬qC.¬p∧qD.p∧¬qD[因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x0恒成立,故p为真命题;因为当x1时,x2不一定成立,反之,当x2时,一定有x1成立,故“x1”是“x2”的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q、¬p为假命题,¬q为真命题,¬p∧¬q、¬p∧q为假命题,p∧¬q为真命题,故选D.]4.已知命题p:函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数;命题q:函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,若p∧q为真,则实数a的取值范围是________.-2,12[p为真时,2a-10,即a12,q为真时,-a2≤1,即a≥-2,则p∧q为真时,p,q都真,所以-2≤a12.]