2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充

第一章常用逻辑用语1．2充分条件与必要条件1．2.1充分条件与必要条件1．2.2充要条件梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会判断所给条件是充分条件、必要条件还是充要条件．3．会求或证明命题的充要条件．‖知识梳理‖1．推出关系一般地，命题“若p，则q”为真，可记作“_________”；“若p，则q”为假，可记作pq.2．充分条件与必要条件一般地，如果p⇒q，那么称p是q的_________，同时称q是p的_________.p⇒q充分条件必要条件3．充要条件如果_________且_________，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的_________，记作_________.同时q也是p的充要条件．p⇒qq⇒p充要条件p⇔q解剖难点探究提高重点难点突破1．对充分条件，必要条件的理解若p⇒q，则说p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．2．对充要条件的理解若p⇒q，同时q⇒p，则称p与q互为充要条件，可以表示为p⇔q(p与q等价)，它的同义词还有：“当且仅当”、“必须只需”、“…，反过来也成立”．准确地理解和使用数学语言，对理解和运用数学知识是十分重要的．3．充分条件和必要条件的判断①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．③若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．④若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件．⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．从集合与集合之间的关系看充分条件、必要条件p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充分条件和必要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一充分条件、必要条件的判定指出下列各题中，p是q的什么条件(在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A∠B；q：BCAC；(2)设x，y∈R，p：x＋y≠8；q：x≠2或y≠6；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)(y－2)＝0；q：(x－1)2＋(y－2)2＝0；(4)在△ABC中，p：sinAsinB；q：tanAtanB．【思路探索】首先判断p⇒q，q⇒p，p⇔q是否成立，然后根据定义下结论．不易判断的可用等价命题判断．【解】(1)在△ABC中，有∠A∠B⇔BCAC，即p⇔q，所以p是q的充要条件．(2)由已知得﹁p：x＋y＝8；﹁q：x＝2且y＝6.易知﹁q⇒﹁p，但﹁p﹁q，等价于p⇒q，且qp，所以p是q的充分不必要条件．(3)由已知得p：A＝{(x，y)|x＝1或y＝2}；q：B＝{(1,2)}，易知q⇒p，且pq，所以p是q的必要不充分条件．(4)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，则pq；又取∠A＝30°，∠B＝120°，则qp.所以p是q的既不充分也不必要条件．[名师点拨]判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断.(1)(2019·黄山月考)“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·凌源期末)“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)若直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直，则a2－a＝0，则a＝0或a＝1，故“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的充分不必要条件．(2)若函数y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数，则a2≤2，即a≤4，故“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．答案：(1)A(2)A题型二充分条件、必要条件的应用已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a0，a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)0.(1)若命题p为真命题，求实数t的取值范围；(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【思路探索】求出使命题p，q为真的t的取值范围，根据命题p是命题q的充分不必要条件列出参数满足的条件．【解】(1)由对数式有意义，得－2t2＋7t－50，解得1t52，∴若命题p为真命题，则实数t的取值范围是1，52.(2)不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)0，可化为(t－1)(t－a－2)0.若p是q的充分不必要条件，则1t52是不等式解集的真子集．则a＋252，∴a12.∴实数a的取值范围是12，＋∞.[名师点拨]利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围的问题，常把条件和结论转化为集合的包含关系，根据集合的端点或利用数轴列出不等式组求解.(2019·启东期末)已知函数f(x)＝x2－x＋a，集合A＝{x|－1≤x≤1}，集合B＝{x|f(x)≤0}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围．解：∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，则f(x)≤0，x∈[－1,1]恒成立，即x2－x＋a≤0，x∈[－1,1]恒成立，即f(x)max≤0恒成立，∴1＋1＋a≤0，1－1＋a≤0，即a≤－2.∴a的取值范围为(－∞，－2]．题型三充要条件的证明已知x，y都是非零实数，且xy，求证：1x1y的充要条件是xy0.【思路探索】①利用定义证明p⇒q且q⇒p.②如果每一步的推理都是等价的(⇔)，可以把两个过程合并，用⇔写出证明．【证明】证法一：①充分性：由xy0，及xy，得xxyyxy，即1y1x，即1x1y.②必要性：由1x1y，得1x－1y0，即y－xxy0.∵xy，∴y－x0，∴xy0.由①②知，1x1y的充要条件是xy0.证法二：1x1y⇔1x－1y0⇔y－xxy0.由条件xy⇔y－x0.故y－xxy0⇔xy0.∴1x1y⇔xy0.即1x1y的充要条件是xy0.[名师点拨](1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，即p⇒q.(2)证明充要条件，即证明原命题为真命题(充分性)和逆命题为真命题(必要性).求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.证明：①充分性：∵a－b＋c＝0，∴a(－1)2＋b(－1)＋c＝0，∴－1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．②必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一个根是－1，∴a(－1)2＋b(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.由①②知，方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.题型四充要条件的探求设集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，M＝{z|z＝x2，x∈A}，求使M⊆B的充要条件．【思路探索】由于B，M都与A有关，而A中含有参数a，且z＝x2，在－2≤x≤a时的取值与a有关．因此应分情况讨论求解．【解】∵A＝{x|－2≤x≤a}．∴B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a＋3}．当－2≤a0时，M＝{z|a2≤z≤4}；当0≤a≤2时，M＝{z|0≤z≤4}；当a2时，M＝{z|0≤z≤a2}．故当－2≤a≤2时，M⊆B，得2a＋3≥4，即a≥12.∴12≤a≤2.当a2时，M⊆B，得2a＋3≥a2，解得－1≤a≤3.∴2a≤3.综上知，M⊆B的充要条件为a12≤a≤3.[名师点拨]探求充要条件一般有两种方法：(1)等价转化法．将原命题进行等价转化(变形)，直至获得其成立的充要条件．探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程中每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．(2)非等价转化法．先寻找必要条件，即把探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件．然后证明此条件是该对象成立的充分条件，即从充分性和必要性两个方面说明.(2019·石室月考)直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________．解析：∵直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切，∴圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于2，∴|1＋1＋m|2＝2，∴m＝－4或m＝0.当m＝－4或m＝0时，直线与圆相切．答案：m＝－4或m＝0即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2019·临川一中月考)设a0，b0，则“a2＋b2≥1”是“a＋b≥ab＋1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由a＋b≥ab＋1，得a－1＋b－ab≥0，即(a－1)(1－b)≥0，∴a≥1，0b≤1或0a≤1，b≥1，∴a2＋b2≥1，即a＋b≥ab＋1⇒a2＋b2≥1，但当a＝b＝2时，有a2＋b2≥1，而a＋bab＋1.∴“a2＋b2≥1”是“a＋b≥ab＋1”的必要不充分条件，故选B.答案：B2．已知命题p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，命题q：函数g(x)＝loga(x＋1)(a0，且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则﹁p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由p成立，得a≤1；由q成立，得a1，∴当﹁p成立时，a1，∴﹁p是q的充要条件．答案：C3．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，反之，若m⊥α，l∥α，则l⊥m，∴“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件，故选B.答案：B4．已知p：函数f(x)＝|x－a|在(2，＋∞)上是增函数，q：函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)是减函数，则p是q的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若p为真，则a≤2；若q为真，则0a1.则q⇒p，pq，∴p是q的必要不充分条件，故选A.答案：A5．已知p：x2－8x－20≤0，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，又p是q的充分不必要条件，∴1＋m≥10，1－m≤－2，m＞0，(等号不能同时成立)，解得m≥9.∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．