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第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件学习目标核心素养1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1．通过充分条件、必要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助充分条件，必要条件的判断及应用，提升学生的逻辑推理素养.自主预习探新知1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系PqP____q条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件⇒必要充分必要充分思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q.(2)等价．2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的条件，简称条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q条件．(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．互为充要充分必要充要思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．“x＞0”是“3x2＞0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件A[当x＞0时，3x2＞0成立；但当3x2＞0时，得x2＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x＞0.]2．已知a，b，c∈R，“2b＝a＋c”是“a，b，c成等差数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[2b＝a＋c⇔a，b，c成等差数列．∴“2b＝a＋c”是“a，b，c成等差数列”的充要条件．]3．“a＞b”是“a＞|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[当a＞b时，a＞|b|不一定成立，如a＝－1，b＝－2；当a＞|b|时，a＞b成立，故选B.]4．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．①p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；②p：x0，y0，q：xy0；③p：ab，q：a＋cb＋c.①③[在①③中，p⇔q，所以①③中p是q的充要条件，在②中，qp，所以②中p不是q的充要条件．]合作探究提素养充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A∠B，q：BCAC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：ab＜1.思路探究：判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断¬q是¬p的什么条件．[解](1)在△ABC中，显然有∠A∠B⇔BCAC，所以p是q的充分必要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即¬q⇒¬p，但¬p⇒/¬q，所以p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．(4)由于a＜b，当b＜0时，ab＞1；当b＞0时，ab＜1，故若a＜b，不一定有ab＜1；当a＞0，b＞0，ab＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，ab＜1时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若¬p⇒¬q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若¬p⇒¬q，且¬q¬p，则p是q的必要不充分条件；若¬p⇔¬q，则p与q互为充要条件；若¬p¬q，且¬q¬p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．(1)(2018·天津高考)设x∈R，则“x－12＜12”是“x3＜1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x－12＜12得－12＜x－12＜12，解得0＜x＜1.由x3＜1得x＜1.当0＜x＜1时能得到x＜1一定成立；当x＜1时，0＜x＜1不一定成立．所以“x－12＜12”是“x3＜1”的充分而不必要条件．](2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；③Δ＝b2－4ac0是函数f(x)有零点的必要条件；④Δ＝b2－4ac0是函数f(x)没有零点的充要条件．A．①④B．①②③C．①②③④D．①②④D[①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b2－4ac0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．]充要条件的探求与证明【例2】(1)“x2－4x0”的一个充分不必要条件为()A．0x4B．0x2C．x0D．x4(2)已知x，y都是非零实数，且xy，求证：1x1y的充要条件是xy0.思路探究：(1)先解不等式x2－4x0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．(1)B[由x2－4x0得0x4，则充分不必要条件是集合{x|0x4}的子集，故选B.](2)法一：充分性：由xy0及xy，得xxyyxy，即1x1y.必要性：由1x1y，得1x－1y0，即y－xxy0.因为xy，所以y－x0，所以xy0.所以1x1y的充要条件是xy0.法二：1x1y⇔1x－1y0⇔y－xxy0.由条件xy⇔y－x0，故由y－xxy0⇔xy0.所以1x1y⇔xy0，即1x1y的充要条件是xy0.1．探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．2．(1)不等式x(x－2)0成立的一个必要不充分条件是()A．x∈(0，2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0，1)D．x∈(1，3)B[由x(x－2)0得0x2，因为(0，2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)0成立”的一个必要不充分条件．](2)(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面[答案]B充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？[提示]若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？[提示]若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．【例3】已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．思路探究：p是q的充分不必要条件→p代表的集合是q代表的集合的真子集→列不等式组求解{m|m≥9}(或[9，＋∞))[由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m0)，得1－m≤x≤1＋m(m0)．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m0}的真子集，所以m0，1－m－2，1＋m≥10或1－m≤－2，m0，1＋m10，解得m≥9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m0)得1－m≤x≤1＋m(m0)，因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq.则{x|1－m≤x≤1＋m，m0}{x|－2≤x≤10}，所以m0，1－m≥－21＋m≤10，，解得0m≤3.即m的取值范围是(0，3]．2.若本例题改为：已知P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|1x3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．[解]因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.所以a－4≤1，a＋4≥3，解得－1≤a≤5，即a的取值范围是[－1，5]．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围(1)化简p、q两命题；(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；(3)利用集合间的关系建立不等式；(4)求解参数范围．1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．2．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．当堂达标固双基1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.]2．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选A.]3．下列条件中，是x24的必要不充分条件是()A．－2≤x≤2B．－2x0C．0x≤2D