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第1章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1四种命题(不作要求)1.1.2充分条件和必要条件学习目标核心素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．(重点)2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．(重点、难点)3．培养辩证思维能力.通过充要条件的学习，培养逻辑推理素养.自主预习探新知1．符号⇒与的含义命题真假“若p则q”为真“若p则q”为假表示方法p___qp___q读法p____qp________q⇒推出不能推出2.充分、必要条件的含义条件关系含义p是q的充分条件(q是p的必要条件)_____p是q的充要条件_____p是q的__________条件p⇒q，且qpp是q的__________条件pq，且q⇒pp是q的既不充分又不必要条件pq，且qpp⇒qp⇔q充分不必要必要不充分思考：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价A[由x2－3x＋20得x2或x1，故选A.]1．“x2”是“x2－3x＋20”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac＜bc”是“a＜b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件3．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件D[本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．]4．用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．(1)“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．(2)两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．(3)“a20”是“a0”的________条件．(4)“sinαsinβ”是“αβ”的________条件．(1)充要(2)充分不必要(3)必要不充分(4)既不充分也不必要[(1)a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要”．(2)因为两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似两个三角形全等，所以填“充分不必要”．(3)因为a2＞0a＞0，如(－2)2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0⇒a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．(4)因为y＝sinx在不同区间的单调性是不同的，故“sinαsinβ”是“αβ”的既不充分也不必要条件．]合作探究提素养充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A∠B，q：BCAC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：ab＜1.[思路探究]判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断綈q是綈p的什么条件．[解](1)在△ABC中，显然有∠A∠B⇔BCAC，所以p是q的充分必要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．(4)由于a＜b，当b＜0时，ab＞1；当b＞0时，ab＜1，故若a＜b，不一定有ab＜1；当a＞0，b＞0，ab＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，ab＜1时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法1．定义法2．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．3．逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若綈p⇒綈q，且綈q綈p，则p是q的必要不充分条件；若綈p⇔綈q，则p与q互为充要条件；若綈p綈q，且綈q綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．(1)设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件D[令a＝1，b＝－1，满足ab，但不满足a2b2，即“ab”不能推出“a2b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2b2，但不满足ab，即“a2b2”不能推出“ab”，所以“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；③Δ＝b2－4ac0是函数f(x)有零点的必要条件；④Δ＝b2－4ac0是函数f(x)没有零点的充要条件．A．①④B．①②③C．①②③④D．①②④D[①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b2－4ac0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．]充要条件的探求与证明(1)“x2－4x0”的一个充分不必要条件为()A．0x4B．0x2C．x0D．x4(2)已知x，y都是非零实数，且xy，求证：1x1y的充要条件是xy0.[思路探究](1)先解不等式x2－4x0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[解析](1)由x2－4x0得0x4，则充分不必要条件是集合{x|0x4}的子集，故选B.[答案]B(2)法一：充分性：由xy0及xy，得xxyyxy，即1x1y.必要性：由1x1y，得1x－1y0，即y－xxy0.因为xy，所以y－x0，所以xy0.所以1x1y的充要条件是xy0.法二：1x1y⇔1x－1y0⇔y－xxy0.由条件xy⇔y－x0，故由y－xxy0⇔xy0.所以1x1y⇔xy0，即1x1y的充要条件是xy0.1．探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．B[由x(x－2)0得0x2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)0成立”的一个必要不充分条件．]2．(1)不等式x(x－2)0成立的一个必要不充分条件是()A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1)D．x∈(1,3)(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分、必要条件的应用[探究问题]1．若集合AB，那么“x∈A”是“x∈B”的什么条件？“x∈B”是“x∈A”的什么条件？[提示]因为AB，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，而“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件．2．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件？[提示]当AB且BA时，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件．3．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|x≥2}．若A是B的充要条件，实数a的值确定吗，若集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？[提示]当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，AB，这时a的值不确定，实数a的取值范围是(2，＋∞)．【例3】已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路探究]p是q的充分不必要条件→p代表的集合是q代表的集合的真子集→列不等式组求解{m|m≥9}(或[9，＋∞))[由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m0)，得1－m≤x≤1＋m(m0)．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qDp.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m0}的真子集，所以m0，1－m－2，1＋m≥10或1－m≤－2，m0，1＋m10，解得m≥9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m0)得1－m≤x≤1＋m(m0)因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq.则{x|1－m≤x≤1＋m，m0}{x|－2≤x≤10}所以m01－m≥－21＋m≤10，解得0m≤3.即m的取值范围是(0,3]．2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|1x3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．[解]因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P.所以a－4≤1a＋4≥3解得－1≤a≤5即a的取值范围是[－1,5]．利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围1．化简p、q两命题，2．根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，3．利用集合间的关系建立不等关系，4．求解参数范围．1．充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可．(3)利用集合间的包含关系进行判断．2