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第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题学习目标核心素养1.理解命题的概念，并能判断命题的真假．(重点、易混点)2．了解命题的构成形式，能把命题改写成“若p则q”的形式，并能判断其真假．(难点)1.通过命题概念的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助对命题的判断及命题的结构的解读，提升学生的逻辑推理素养.自主预习探新知1．命题的概念(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以________的______叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以________”和“______”．我们学习过的定理、推论都是命题．判断真假陈述句判断真假陈述句(3)分类命题真命题：判断为__的语句，假命题：判断为__的语句.真假思考1：依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题．①三角形外角和为360°；②连接A，B两点；③计算3－2的值；④过点A作直线l的垂线；⑤在三角形中，大边对的角一定也大吗？[提示]根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题．2．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的____，q叫做命题的____．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．条件结论思考2：如何判断一个命题的条件和结论各是什么？[提示]将一个命题改写成“若p，则q”的形式判断．1．下列语句中，不能成为命题的是()A．8＞15B．x＜0C．梯形是四边形D．三角形三条中线交于一点B[“x＜0”不能判断真假，故不是命题．]2．下列命题中，真命题共有()①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若ab，则a＋c＞b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个A[①②④是假命题，③是真命题．]3．指出下列命题中的条件p和结论q：(1)若x0，则x20；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．[解](1)条件p：x＜0，结论q：x2＜0.(2)条件p：一个函数的图象是一条直线，结论q：这个函数为一次函数．合作探究提素养命题的判断【例1】(1)下列语句：①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数的算术平方根一定是非负数；③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；④请完成第九题；⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．其中是命题的是________(填序号)．(2)下列语句中是命题的有________(填序号)．①平行于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③x·y为有理数，则x，y也都是有理数；④作△ABC∽△A′B′C′.(1)②③⑤(2)②③[(1)①不是命题，因为它不是陈述句；②是命题，是假命题，因为负数没有算术平方根；③是命题，是假命题，例如－2＋2＝0,0不是无理数；④不是命题，因为它不是陈述句；⑤是命题，是假命题，直线l与平面α可以相交．(2)①疑问句．没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．②是假命题.0既不是正数也不是负数．③是假命题．如x＝3，y＝－3.④是祈使句，不是命题．]并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.1．下列语句中是命题的是________(填序号)．①求证3是无理数；②x∈R，x2＋4x＋4≥0；③你是高一的学生吗？④并非所有人都喜欢苹果；⑤一个正整数不是质数就是合数；⑥如果x＋y和xy都是有理数，那么x，y都是有理数；⑦60x＋94；⑧如果x∈R，那么x2＋4x＋7＞0.②④⑤⑥⑧[①是祈使句，不是命题．②x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋40或x2＋4x＋4＝0，对于x∈R，可以判断此陈述语句的真假，故它是命题．③是疑问句，不是命题．④是命题，人群中有喜欢苹果的人，也有不喜欢苹果的人，所以可判断该陈述语句的真假，故它是命题．⑤是命题，整数1既不是质数，也不是合数，所以该陈述句为假，所以它是命题．⑥是命题，3＋(－3)和3·(－3)都是有理数，但3，－3都是无理数，所以该陈述语句为假，是命题．⑦不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值是否使不等式恒成立无法确定，不能判断其真假，所以它不是命题．⑧是命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋30，对于x∈R，不等式恒成立，所以该陈述语句为真，是命题．故填②④⑤⑥⑧.]命题结构形式【例2】把下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)末位数是0的整数能被5整除；(2)偶函数的图象关于y轴对称；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)当a0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．[思路探究]先确定命题的条件与结论，再改写；若命题中的条件与结论比较隐含，要补充完整．[解](1)若一个整数的末位数字是零，则这个整数能被5整除．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称．(3)若一个等比数列的公比大于1，则该数列为递增数列．(4)当a0时，若x增大，则函数y＝ax＋b的值也增大．把命题改写成“若p，则q”的形式，关键是找到命题的条件“p”和结论“q”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么.提醒：任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)6是12和18的公约数；(2)当a－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.[解](1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．(2)若a－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.命题真假的判断[探究问题]1．命题与真命题、假命题的关系是什么？[提示]一个命题要么是真命题，要么是假命题；不管真命题还是假命题都是命题．2．数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？[提示]是真命题．是我们判断其它命题真假的依据．【例3】判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋10；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)设集合A＝{x|x2－6x－70}，B＝{x|x≥a}，若∁RB＝{x|x2},则a∈A.[思路探究]找出命题的条件和结论→写成“若p，则q”的形式→判断真假[解](1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满足2x＋10.(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(4)是真命题，∵A＝{x|x2－6x－70}＝{x|－1x7}，B＝{x|x≥a}，∁RB＝{x|x2}，∴a＝2，则a∈A.本例(4)大前提条件不变，其它变为(1)“若a≤－1，则A⊆B”，(2)“若a＝0，则A∪B＝{x|x－7}”．判断两命题的真假，并说明理由．[解](1)由本例(4)可知A＝{x|－1x7}．若a≤－1，则A，B两集合在数轴上表示如图所示，所以A⊆B，故该命题为真命题．(2)若a＝0，B＝{x|x≥0}，∴A∪B＝{x|x－1}．故该命题为假命题．1真命题的判定方法真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.2假命题的判定方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.提醒：一个命题为“真”或“假”是唯一确定的，不存在亦真亦假的命题.3．判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)如果x∈N，则x3＞x2成立；(3)如果m1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．[解](1)假命题．反例：1≠4,5≠2，但1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时，x3x2不成立．(3)真命题．∵m1⇒Δ＝4－4m0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．当堂达标固双基1．思考辨析(1)“x＞5”是命题．()(2)疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题．()(3)“3＞12”是命题．()[提示](1)×不能判断真假．(2)√(3)√2．下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④垂直于同一平面的两直线平行．真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4B[①当m不为0时，mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②当Δ＝4＋4a≥0且a≠0时，抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③符合集合相等的定义，真命题；④真命题．∴选B.]3．给定下列四个命题，其中正确的是()①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③若集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝{3,9}；④若集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝{1,3,5}．A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④B[①若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②正确；③正确；④A∩B＝{3,9}，∴选B.]4．有下列四个命题：①若x·y＝0，则x，y中至少有一个为0；②全等三角形面积相等；③若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实数解；④2是合数．其中真命题是________(填上所有正确命题的序号)．①②③[④中2是质数．]5．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)等边三角形的三个内角相等；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．[解](1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．真命题．(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．(3)若一条直线垂直平分弦，则此直线经过圆心，并平分弦所对的弧．真命题．