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第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题学习目标核心素养1．了解命题的概念．(难点)2．理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．(重点)3．能判断一些简单命题的真假．(难点、易错点)1．通过命题的概念及其构成形式的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．通过命题的真假判断，培养学生的逻辑推理核心素养.自主预习探新知1．命题的定义与分类(1)命题的：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以的叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以”和“”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题真命题：判断为的语句.假命题：判断为的语句.陈述句定义判断真假陈述句判断真假假真思考1：(1)“x－1＝0”是命题吗？(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？[提示](1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．2．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的，q叫做命题的．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．结论条件思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？[提示]条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．1．下列语句是命题的是()①三角形内角和等于180°；②23；③一个数不是正数就是负数；④x2；⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤A[①②③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④⑤不是命题．]2．下列命题中，真命题共有()①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若ab，则a＋cb＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个A[①②④是假命题，③是真命题．]3．命题“不等式x＋1x－2＜0与(x＋1)(x－2)＜0同解”是________命题(填“真”“假”)．真[不等式x＋1x－2＜0与(x＋1)(x－2)＜0的解集都是{x|－1＜x＜2}，所以是真命题．]4．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p是______，结论q是________．若一个函数是奇函数函数的图象关于原点对称[命题的条件是“若一个函数是奇函数”，结论是“函数的图象关于原点对称”．]合作探究提素养命题的判断【例1】(1)下列语句为命题的是()A．x2－1＝0B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．(填序号)①x∈R，x2；②梯形是不是平面图形呢？③22018是一个很大的数；④4是集合{2，3，4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.(1)B(2)①④[(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]判断一个语句是否是命题的两个关键点(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题．1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，则x2＋4x＋70；(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是奇数就是偶数；(6)2030年6月1日上海会下雨．[解](1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．(2)不是命题，不能判断真假．(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋30能判断真假．(4)是疑问句，不是命题．(5)是命题，能判断真假．(6)不是命题，不能判断真假．命题的构成【例2】(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．①函数y＝lgx是单调函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.思路探究：解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．(1)一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧[命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．](2)解：①若函数是对数函数y＝lgx，则这个函数是单调函数，真命题；②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．1.若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中，如本例(2)②.2.“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)当1a1b时，ab；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；(3)同弧所对的圆周角不相等．[解](1)若1a1b，则ab；(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行；(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．命题的真假判断[探究问题]1．如何判断一个命题是真命题？[提示]根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性．2．如何判断一个命题是假命题？[提示]举出一个反例即可．【例3】给定下列命题：①若ab，则2a2b；②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；③直线x＝π2是函数y＝sinx的一条对称轴；④在△ABC中，若AB→·BC→0，则△ABC是钝角三角形．其中为真命题的是________．思路探究：①③④[对于①，根据函数f(x)＝2x的单调性知①为真命题．对于②，若a＝1＋3，b＝1－3，则a＋b＝2不是无理数，因此②是假命题．对于③，函数y＝sinx的对称轴方程为x＝π2＋kπ，k∈Z，故③为真命题．对于④，因为AB→·BC→＝|AB→||BC→|cos(π－B)＝－|AB→|·|BC→|cosB0，故得cosB0，从而得B为钝角，所以④为真命题．]1．(变结论)本例中命题①变为“若ab，则方程ax2－2bx＋a＝0无实根”，该命题是真命题还是假命题．[解]若a＝1，b＝－5，满足ab，但Δ＝4b2－4a20，方程有两个不相等的实根，因此该命题是假命题．2.(变条件)本例中命题④变为“若AB→·BC→0，则△ABC是锐角三角形”，该命题还是真命题吗？[解]不是真命题，AB→·BC→0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，且必居其一．2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．当堂达标固双基1．下列语句不是命题的个数为()①21；②x1；③若x1，则x2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．A．0B．1C．2D．3B[语句①③④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．]2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形C[把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.]3．下列命题是真命题的为()A．若ab，则1a1bB．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列C．若|x|y，则x2y2D．若a＝b，则a＝bC[对于A，若a＝1，b＝－2，则1a1b，故A是假命题．对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．对于C，因为y|x|≥0，则x2y2是真命题．对于D，当a＝b＝－2时，a与b没有意义，故D是假命题．]4．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．(－∞，0)∪(0，1)[由题意知a≠0，Δ＝4－4a0，解得a1，且a≠0.]