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第一章常用逻辑用语§1命题学习目标：1.了解命题的概念及构成，会判断命题的真假．(难点)2.了解命题的四种关系，会判断命题的真假．(重、难点)自主预习探新知1．命题的定义及组成(1)定义①定义：可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作．②分类：判断为正确的语句叫作，判断为错误的语句叫作．命题真命题假命题(2)命题的组成一般地，一个命题由和两部分组成，数学中，通常把命题表示为“若p，则q”的形式，其中p是，q是．条件结论条件结论思考：(1)“x5”是命题吗？(2)陈述句一定是命题吗？[提示](1)“x5”不是命题，因为它不能判断真假．(2)陈述句不一定是命题，因为不知真假．只有可以判断真假的陈述句才叫作命题．2．四种命题(1)四种命题互逆命题一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和互否命题一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和互为逆否命题一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和结论条件条件的否定结论的否定结论的否定条件的否定(2)四种命题之间的关系逆否逆否思考：如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？[提示]原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”．()(2)命题“实数的平方是非负数”是真命题．()(3)若原命题为真命题，则其逆命题一定也是真命题．()(4)若a＝b，则|a|＝|b|的逆否命题是假命题．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．下列语句中是命题的是()A.π2是无限不循环小数B．x0C．什么是“温室效应”D．作直线ABA[由命题的定义加以判断．]3．下列命题是真命题的是()A．所有素数都是奇数B．若ab，则a－6b－6成立C．对任意的x∈N，都有x3x2成立D．方程x2＋x＋1＝0有实根[答案]B4．命题“不等式x2＋x－60的解是x－3或x2”的逆否命题是________．[解析]把命题的条件“不等式x2＋x－60”和结论“解是x－3或x2”分别否定后作为逆否命题的结论和条件．[答案]－3≤x≤2是不等式x2＋x－6≤0的解合作探究提素养【例1】判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)若x＝4，则2x＋1＜0；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．命题的概念及真假判断[解](1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，显然其最小正周期为π，为真命题．命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．1．判断语句是否为命题的关键是看该语句是否能判断真假．2．在说明一个命题是真命题时，应进行严格的推理证明，而要说明命题是假命题，只需举一个反例即可．1．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？(2)一个正整数不是合数就是质数；(3)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；(4)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；(5)1＋2＋3＋…＋2018；(6)这盆花长得太好了！[解](1)(5)(6)未涉及真假，都不是命题．(2)是命题．因为1既不是合数也不是质数，故它是假命题．此命题可写成“若一个数为正整数，则它不是合数就是质数”．(3)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边”．(4)是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y都是有理数”．【例2】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；(2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(3)若xy＝0，则x＝0且y＝0.思路探究：找出命题的条件p与结论q，根据四种命题的条件与结论的关系写出其余三种命题，再判断其真假性．四种命题及其关系[解](1)逆命题：全等三角形的面积相等，真命题．否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题．逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题．(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，真命题．否命题：若q1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q1，真命题．(3)逆命题：若x＝0且y＝0，则xy＝0，真命题．否命题：若xy≠0，则x≠0或y≠0，真命题．逆否命题：若x≠0或y≠0，则xy≠0，假命题．1．写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，并写出条件和结论的否定，然后按照定义写出各命题．若原命题不是“若p，则q”的形式，应先将命题写成这种形式．注意：当原命题有大前提时，在写三种命题时，大前提不变．2．在判断四种命题的真假时，首先要正确地写出逆命题、否命题和逆否命题，在弄清楚它们的真假关系时，注意相关知识的运用．2．写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)如果x8，那么x0；(3)当x＝－1时，x2－x－2＝0.[解](1)原命题：若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；真命题．逆命题：若一个四边形是圆的内接四边形，则这个四边形的对角互补；真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；真命题．逆否命题：若一个四边形不是圆的内接四边形，则这个四边形的对角不互补；真命题．(2)原命题：若x8，则x0；真命题．逆命题：若x0，则x8；假命题．否命题：若x≤8，则x≤0；假命题．逆否命题：若x≤0，则x≤8；真命题．(3)原命题：若x＝－1，则x2－x－2＝0；真命题．逆命题：若x2－x－2＝0，则x＝－1；假命题．否命题：若x≠－1，则x2－x－2≠0；假命题．逆否命题：若x2－x－2≠0，则x≠－1；真命题．[探究问题]1．下列四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；逆否命题的应用(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系，那么任意两个命题之间有什么关系？[提示](2)(3)互为逆否命题．(2)(4)互为否命题．(3)(4)互为逆命题．2．通过以上探究，你认为如果原命题为真，那么它的逆命题、否命题、逆否命题的真假性是怎样的？[提示]原命题为真，它的逆命题，否命题不一定为真．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．原命题为真，它的逆否命题一定为真，两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．【例3】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．思路探究：本题可直接写出其逆否命题并判断其真假，也可直接判断原命题的真假来推断其逆否命题的真假．[解]法一：(逆否命题法)其逆否命题为：已知a，x为实数，如果a1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图像开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a1，所以4a－70，即Δ0.所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真命题．法二：(原命题法)先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥74.∵741，∴a≥1.∴原命题为真．又因为原命题与其逆否命题真假相同，所以逆否命题为真．(变条件)若将例3中的条件变为“不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a2”，判断其逆否命题的真假．[解]原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图像开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－70，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真命题．因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来判断原命题的真假性.这种证明方法叫作逆否证法，它也是一种间接的证明方法.当堂达标固双基1．下列语句不是命题的有()①若a＞b，b＞c，则a＞c；②x＞2；③3＜7；④函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在R上是增函数．A．0个B．1个C．2个D．3个B[①③④是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假，不是命题．]2．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥12”的否命题是()A．若a2＋b2＜12，则a＋b≠1B．若a＋b＝1，则a2＋b2＜12C．若a＋b≠1，则a2＋b2＜12D．若a2＋b2≥12，则a＋b＝1C[“a＋b＝1”，“a2＋b2≥12”的否定分别是“a＋b≠1”，“a2＋b2＜12”，故否命题为：“若a＋b≠1，则a2＋b2＜12”．]3．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________．[解析]“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”．[答案]如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数4．命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为________，是________命题(填“真”“假”)．[解析]命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为“10的常用对数是1”，是真命题．[答案]10的常用对数是1真5．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.[解](1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.假命题；否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.真命题．