2019-2020学年高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法章末复习课课件 新人教B版选

第一章不等式的基本性质和证明的基本方法章末复习课[自我校对]①含绝对值的不等式②比较法③综合法和分析法④反证法和放缩法基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值．在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．【例1】(1)求函数y＝x2(1－5x)0≤x≤15的最大值；(2)已知a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，求y＝1a＋1b＋1c的最小值．[精彩点拨]根据条件，发现定值，利用基本不等式求最值．[规范解答](1)y＝52x225－2x＝52·x·x·25－2x.∵0≤x≤15，∴25－2x≥0，∴y≤52x＋x＋25－2x33＝4675.当且仅当x＝x＝25－2x，即x＝215时，上式取等号．因此ymax＝4675.(2)y＝1a＋1b＋1c＝1a＋1b＋1c(a＋b＋c)＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc，而ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥6，当且仅当a＝b＝c＝13时取到等号，则y≥9，即y＝1a＋1b＋1c的最小值为9.1．设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．[证明]由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立.绝对值不等式的解法解绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成一般的不等式，主要的依据是绝对值的定义．1．公式法|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)－g(x)；|f(x)|g(x)⇔－g(x)f(x)g(x)．2．平方法|f(x)||g(x)|⇔[f(x)]2[g(x)]2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．【例2】解下列关于x的不等式：(1)|x－x2－2|x2－3x－4；(2)|x－2|－|2x＋5|2x.[精彩点拨]去掉绝对值号，转化为没有绝对值的不等式求解．(1)x－x2－2＝－x2＋x－2＝－x－122－74＜0；(2)通过分类讨论去掉绝对值．[规范解答]法一：原不等式等价于x－x2－2x2－3x－4或x－x2－2－(x2－3x－4)，解得1－2x1＋2或x－3，∴原不等式的解集为{x|x－3}．法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2，∴原不等式等价于x2－x＋2x2－3x－4⇔x－3.∴原不等式的解集为{x|x－3}．(2)分段讨论：①当x－52时，原不等式变形为2－x＋2x＋52x，解得x7，∴原不等式的解集为xx－52.②当－52≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－52x，解得x－35.∴原不等式的解集为x－52≤x－35.③当x2时，原不等式变形为x－2－2x－52x，解得x－73，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为xx－35.2．解不等式|x＋1|＋|x|＜2.[解]法一：当x≤－1时，－x－1－x＜2，解得－32＜x≤－1；当－1＜x＜0时，x＋1－x＜2，解得－1＜x＜0；当x≥0时，x＋1＋x＜2，解得0≤x＜12.因此，原不等式的解集为x－32＜x＜12.法二：令f(x)＝|x＋1|＋|x|－2＝2x－1x≥0，－1－1≤x＜0，－2x－3x＜－1.作函数f(x)的图象(如图)，知当f(x)＜0时，－32＜x＜12.故原不等式的解集为x－32＜x＜12.法三：由绝对值的几何意义知，|x＋1|表示数轴上点P(x)到点A(－1)的距离，|x|表示数轴上点P(x)到点O(0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为x－32＜x＜12.法四：原不等式⇔0≤|x＋1|＜2－|x|，∴(x＋1)2＜(2－|x|)2，且|x|＜2，即0≤4|x|＜3－2x，且|x|＜2.∴16x2＜(3－2x)2，且－2＜x＜2，解得－32＜x＜12.故原不等式的解集为x－32＜x＜12.不等式的证明证明不等式的主要方法有作差比较法、作商比较法、平方差比较法、综合法、分析法．其次还有反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造函数法等，但这些方法不是孤立的，它们相互渗透、相辅相承，有的题可以有多种证法，而有的题目要同时用几种方法才能解决，因此我们在平时解题中要通过一题多解，一解多法的反复训练，加强对各种方法的区别与联系的认识，把握每种方法的长处和不足，从而不断提高我们分析问题和解决问题的能力．1．比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系．其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论．其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号．【例3】设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.[精彩点拨]作差，变形，定号，下结论即可．[规范解答]3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(a－b)(3a2－2b2)．∵a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b22a2－2b2≥0.从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立．3．设实数a，b，c满足等式①b＋c＝6－4a＋3a2，②c－b＝4－4a＋a2，试确定a，b，c的大小关系．[解]由②c－b＝(a－2)2≥0，知c≥b.又①－②，得b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝a－122＋340，∴ba，故c≥ba.2．综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因寻果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．【例4】已知a，b，c均为正数，且互不相等，又abc＝1.求证：a＋b＋c＜1a＋1b＋1c.[精彩点拨]本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向，左端含有根号，脱去根号可通过a＝1bc＜1b＋1c2实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．[规范解答]法一：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴a＋b＋c＝1bc＋1ac＋1ab＜1b＋1c2＋1a＋1c2＋1a＋1b2＝1a＋1b＋1c.法二：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ab＝bc＋ca2＋ca＋ab2＋ab＋bc2＞abc2＋a2bc＋ab2c＝a＋b＋c.4．已知a＞0，a2－2ab＋c2＝0且bc＞a2，试证明：b＞c.[证明]∵a2－2ab＋c2＝0，∴a2＋c2＝2ab.又a2＋c2≥2ac，且a＞0，∴2ab≥2ac，∴b≥c.若b＝c，由a2－2ab＋c2＝0，得a2－2ab＋b2＝0，∴a＝b.从而a＝b＝c，这与bc＞a2矛盾．从而b＞c.【例5】设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10.求证：logac＋logbc≥4lgc.[精彩点拨]本题采用综合法比较困难，可采用分析式法转化为同底的对数寻找方法．[规范解答]由于a＞1，b＞1，故要证明logac＋logbc≥4lgc，只要证明lgclga＋lgclgb≥4lgc.又c＞1，故lgc＞0，所以只要证1lga＋1lgb≥4，即lga＋lgblgalgb≥4，因ab＝10，故lga＋lgb＝1，只要证明1lgalgb≥4.(*)由a＞1，b＞1，故lga＞0，lgb＞0，所以0＜lgalgb≤lga＋lgb22＝122＝14，即(*)式成立．所以，原不等式logac＋logbc≥4lgc得证．5．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：a＋12＋b＋12≤2.[证明]要证a＋12＋b＋12≤2，只要证a＋12＋b＋122≤4，即证a＋b＋1＋2a＋12b＋12≤4.只要证a＋12b＋12≤1，也就是要证ab＋12(a＋b)＋14≤1，即证ab≤14.∵a＞0，b＞0，a＋b＝1.∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14，即上式成立．故a＋12＋b＋12≤2.3．反证法和放缩法证明不等式证明不等式除了三种基本方法，还可运用反证法，放缩法等，若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明，若不等式较复杂，可将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明目的．【例6】若a，b，c，x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c中至少有一个大于0.[精彩点拨]在题目中含有“至少”“至多”“最多”以及否定性的结论时，用直接法证明比较困难，往往采取反证法．[规范解答]假设a，b，c都不大于0，则a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，由题设知，a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.6．已知f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．[证明]假设x0是f(x)＝0的负数根，则x00且x0≠－1且ax0＝－x0－2x0＋1，由0ax01⇒0－x0－2x0＋11，解得12x02，这与x00矛盾，所以假设不成立．故方程f(x)＝0没有负数根．【例7】求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n＜3.[精彩点拨]不等式比较复杂，亦采用放缩法，由11×2×3×…×n＜11×2×2×…×2＝12n－1(n是大于2的自然数)，然后把各项求和．[规范解答]由11×2×3×…×n＜11×2×2×…×2＝12n－1(n是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n＜1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n－1＝1＋1－12n1－12＝3－12n－1＜3.7．设x＞0，y＞0，z＞0，求证：x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＞x＋y＋z.[证明]∵x2＋xy＋y2＝x＋y22＋3y24＞x＋y2，①y2＋zy＋z2＝z＋y22＋34y2＞z＋y2，②∴由①②得，x2＋xy＋y2＋y2＋zy＋z2＞x＋y＋z.转化与化归数学思想等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式简单的问题．在本章，我们讨论恒成立问题，向最值转换，通过不等式性质、基本不等式、绝对值不等式求最值等问题都用到了转化的思想．【例8】若不等式|x＋3|＋|x－7|≥a2－3a的解集为R，求实数a的取值范围．