2019-2020学年高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 3 平均值不等式 第2课时 运用平均值

第一章不等关系与基本不等式§3平均值不等式第2课时运用平均值不等式求最大(小)值学习目标：1.能利用平均值不等式求简单的最大(小)值．(重点)2.掌握建立不等式模型，解决实际问题中的最值．(难点)自主预习探新知教材整理两个重要结论阅读教材P10～P14，完成下列问题．1．已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则(1)如果P是____，那么当且仅当______时，S取得最小值_____；(2)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值.定值x＝yS242P2．若a，b，c均为正数，(1)如果a＋b＋c是定值S，那么__________时，积abc有____值；(2)如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和__________有最小值．a＝b＝c最大a＋b＋c填空：(1)若x0时，1x＋x的最小值是________．(2)当x2＋2x2＋1取得最小值时，x取________．[解析](1)x0时，x＋1x≥2，故最小值为2.(2)x2＋2x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1≥2，这时x＝0.[答案](1)2(2)0合作探究提素养利用平均值不等式求最大(小)值【例1】设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为__________．[精彩点拨]由条件消去y，然后利用平均值不等式求最小值．[自主解答]由x－2y＋3z＝0，得y＝x＋3z2，∴y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz＝14xz＋9zx＋6≥142xz·9zx＋6＝3.当且仅当x＝y＝3z时，y2xz取得最小值3.[答案]3本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的能使用基本不等式求最值的问题．1．函数y＝x＋1x2＋5x＋6(x－1)的最大值是______．[解析]y＝x＋1x＋12＋3x＋1＋2＝1x＋1＋2x＋1＋3.∵x－1，∴x＋10.因此x＋1＋2x＋1≥22，x＋1＋2x＋1＋3≥3＋22.当且仅当x＋1＝2x＋1，x＝2－1时等号成立．∴0y≤13＋22＝3－22(x＝2－1时取等号)．故ymax＝3－22.[答案]3－22灵活运用条件求最值【例2】已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．[精彩点拨]本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力．解答此题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值．[自主解答]法一：∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9xy，又1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.法二：由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)，可知x1，y9，而x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2x－1y－9＋10＝16.所以当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：(1)首先，看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“－1”变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以．2．已知x0，y0，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．[解]∵x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＝1，∴1x＋1y＝x＋2yx＋x＋2yy＝1＋2yx＋xy＋2≥3＋22.当2yx＝xy，即x＝2y，也就是y＝12＋2＝1－22，x＝2－1时等号成立，故1x＋1y的最小值为3＋22.用平均值不等式求解应用题[探究问题]解不等式实际应用题的解题思路是怎样的？[提示]解不等式实际应用题的解题思路实际问题――――――――――――→建模审题、抽象概括、转化数学问题――――→解模推理演算数学模型答案――→验证实际问题结论【例3】如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[精彩点拨]根据实际问题建立数学模型→运用函数、不等式等解模型→检验结论是否满足实际问题[自主解答]法一：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝9000.①广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a0，b0.广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋225a·40b＝18500＋21000ab＝24500.当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝58a，代入①式得a＝120，从而b＝75.即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500cm2.故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm2.法二：设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，y－252，其中x20，y25，两栏的面积之和为2(x－20)·y－252＝18000，由此得y＝18000x－20＋25.广告的面积S＝xy＝x18000x－20＋25＝18000x－20·x＋25x，整理得S＝360000x－20＋25(x－20)＋18500，因为x－200，所以S≥2360000x－20×25x－20＋18500＝24500.当且仅当360000x－20＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x20)，解得x＝140，代入y＝18000x－20＋25，得y＝175，即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500cm2，故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm2.利用基本不等式解决实际问题的一般思路是：(1)在理解题意的基础上，合理设出变量，找出实际问题的数学模型建立函数关系式，并求出函数定义域；(2)由建立的函数关系式转化为求函数的最大值或最小值问题；(3)在函数定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)结合实际问题，求出实际问题的解．3．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台(x∈N＋)，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解]设每批购买x台电视机，共需运输和保管的总费用为y元．由题意可得保管费ω＝k·2000x(k0)，总运输费为400·3600x.因为43600－400×9＝k·400×2000，所以k＝120.所以y＝120·2000x＋400·3600x＝100x＋14400x≥100·214400＝24000.当且仅当x＝14400x，即x＝120时等号成立．所以只要安排每批购买120台电视机时，可以使资金够用．当堂达标固双基1．已知0x1，则x(1－x)取最大值时x的值为()A．13B．12C．14D．23[解析]∵0x1，∴x(1－x)≤x＋1－x22＝14，当且仅当x＝12时取等号．[答案]B2．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A．25B．12C．22D．1[解析]显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；当x0时，x＋1≥2x，∴f(x)≤12.当且仅当x＝1时，等号成立，∴f(x)max＝12.[答案]B3．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为______．[解析]∵t0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2.[答案]－24．设x，y∈R，且xy≠0，则x2＋1y21x2＋4y2的最小值为________．[解析]x2＋1y21x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．[答案]95．求函数y＝x2(1－5x)0≤x≤15的最大值．[解]y＝52x225－2x＝52x·x25－2x.∵0≤x≤15，∴25－2x≥0，∴y≤52x＋x＋25－2x33＝4675.当且仅当x＝25－2x，即x＝215时，上式取“＝”号．故ymax＝4675.