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第一章不等关系与基本不等式§2含有绝对值的不等式2.1绝对值不等式学习目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．(重点)2.会利用绝对值不等式的性质定理证明简单的不等式．(难点)自主预习探新知教材整理1绝对值的几何意义阅读教材P6“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．|a|表示在数轴上______对应的点与原点O的距离．2．|x－a|的几何意义是______对应的点与实数a对应的点之间的距离．实数a实数x判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由|x＋2|＝0可得x＋2＝0即x＝－2.()(2)因为|a||b|，所以ab.()(3)|a－b|的几何意义是数轴上实数a，b对应的两点之间的距离.()[答案](1)√(2)×(3)√教材整理2定理阅读教材P6～P7，完成下列问题．对任意实数a和b，有|a＋b|≤______________，当且仅当________时，等号成立．推论：如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当________________________时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0(a－c)(c－b)≥0填空(填“，，≥，≤”)：(1)|a|－|b|________|a－b|；(2)|a－b|________|a|＋|b|；(3)若|a|ε2，|b|ε2，则|a＋b|________ε.[解析](1)由|a＋b|≤|a|＋|b|，得|a|＝|(a－b)＋b|≤|a－b|＋|b|，∴|a|－|b|≤|a－b|，故应填≤.(2)由|a＋b|≤|a|＋|b|，得|a－b|＝|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|＝|a|＋|b|，故应填≤.(3)∵|a|ε2，|b|ε2，∴|a＋b|≤|a|＋|b|ε2＋ε2＝ε，故应填.[答案](1)≤(2)≤(3)合作探究提素养绝对值不等式的性质定理的应用【例1】已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系是________．[精彩点拨]易判定m，n与1的大小关系．[自主解答]因为|a|－|b|≤|a－b|，所以|a|－|b||a－b|≤1，即m≤1.又因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a|＋|b||a＋b|≥1，即n≥1，所以m≤1≤n.[答案]m≤n1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a＋b|≤|a|＋|b|的理解和应用．2．在定理中，以－b代b，得|a－b|≤|a|＋|b|；以a－b代替实数a，可得到|a|－|b|≤|a－b|.1．已知实数a，b，c满足|a－c|＜|b|，则下列不等式成立的是()A．a＜b＋cB．|a|＞|b|－|c|C．a＜c－bD．|a|＜|b|＋|c|[解析]∵|a－c|≥|a|－|c|且|a－c|＜|b|，∴|a|－|c|≤|a－c|＜|b|，∴|a|＜|b|＋|c|.[答案]D利用定理证明绝对值不等式【例2】已知|x－a|ε2M，|y－b|ε|2a|，y∈(0，M)，求证：|xy－ab|ε.[精彩点拨]本题考查定理在证明和差的绝对值构成的不等式中的应用，解答此题需要通过变形用上定理将|xy－ab|用|x－a|及|y－b|表示即可证明．[自主解答]因为y∈(0，M)，所以|y|＝yM.所以|xy－ab|＝|xy－ya＋ya－ab|＝|y(x－a)＋a(y－b)|≤|y|·|x－a|＋|a|·|y－b|M·ε2M＋|a|·ε2|a|＝ε2＋ε2＝ε，所以不等式成立．利用定理证明含有和差的绝对值不等式或绝对值的和差的不等式的关键是将待证不等式中一端通过适当的添项和减项正用(或逆用)定理求证．2．已知|x|＜a4，|y|＜a6，求证：|2x－3y|＜a.[证明]∵|x|＜a4，|y|＜a6，∴|2x|＜a2，|3y|＜a2，∴|2x－3y|≤|2x|＋|3y|＜a2＋a2＝a.故原不等式成立.运用绝对值不等式求最值与范围[探究问题]1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？[提示]|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．不等式|x－3|2的意义是什么？函数f(x)＝|x－3|＋|x＋1|的函数值表示什么意义？[提示]根据绝对值的意义，不等式|x－3|2的意义是数轴上到实数3对应的点的距离小于2的总的集合．函数f(x)＝|x－3|＋|x＋1|中函数值是指数轴上到实数3对应的点的距离和到实数－1对应的点的距离之和．3．能从图像角度理解f(x)＝|x－1|＋|x＋2|只有最小值没有最大值吗？[提示]f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＝2x＋1，x≥1，3，－2≤x1，－2x－1，x－2，其图像如图，由图可知，该函数只有最小值3，没有最大值．【例3】对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．[精彩点拨]只需求|x＋1|＋|x＋2|的最小值不小于m即可，可利用绝对值的性质求解．[自主解答]对任意x∈R，|x＋1|＋|x＋2|≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1，∴|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1.∴当m≤1时，|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立．本题也可利用绝对值的几何意义或函数的性质求解．|x－m|表示数轴上表示实数x的点到表示实数m的点间的距离．对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法去掉绝对值转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应问题．3．设函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|.(1)解不等式f(x)≥2；(2)若不等式|x＋2|－|x－2||m－2|恒成立，求参数m的取值范围．[解]f(x)＝－4，x－2，2x，－2≤x≤2，4，x2，作出图像：(1)由图像可知不等式f(x)≥2的解集为{x|x≥1}．(2)由图像可知函数f(x)的最大值是4.∴不等式|x＋2|－|x－2||m－2|恒成立只需|m－2|4，∴m6或m－2.综上可知，m的取值范围是(－∞，－2)∪(6，＋∞)．当堂达标固双基1．若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b∈R，则有()A．ab＜0B．ab＞0C．ab≥0D．以上都不对[答案]C2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|＞1成立的充分不必要条件是()A．|a|≥12且|b|≥12B．|a＋b|≥1C．|a|≥1D．b＜－1[解析]当b＜－1时，|b|＞1，∴|a|＋|b|＞1.但|a|＋|b|＞1⇒/b＜－1(如a＝2，b＝0)，∴“b＜－1”是|a|＋|b|＞1的充分不必要条件．[答案]D3．已知四个命题：①a＞b⇒|a|＞b；②a＞b⇒a2＞b2；③|a|＞b⇒a＞b；④a＞|b|⇒a＞b.其中正确的命题是________．[解析]当a＞b时，|a|≥a＞b，①正确；又当a＞|b|时，有a＞|b|≥b，④正确．[答案]①④4．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________．[解析]∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号，因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.[答案]35．设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：ax＋bx2＜2.[证明]依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1，又|x|＞m，∴|x|＞|a|，|x|＞|b|，|x|＞1，从而|x|2＞|b|.因此ax＋bx2≤ax＋bx2＝|a||x|＋|b||x2|＜|x||x|＋|x|2|x2|＝2.故原不等式成立．