2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系 第7课时 柱坐标系与球坐标系简介课件 新人教A版选修

第7课时柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系一般地，建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间中任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，如下图，空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z⇔ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0，z＝z.这样我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫__________，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的________，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.柱坐标系又称___________，它是由______________及________________中的一部分建立起来的．柱坐标系柱坐标半极坐标平面极坐标系空间直角坐标系2．球坐标系一般地，如下图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间中任意一点，连接OP，记OP＝r，OP与z轴正方向所夹的角为φ．设P在平面Oxy上的射影为Q，x轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫__________(或______________)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的________，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π．空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ⇔r2＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zrr≠0，tanθ＝yxx≠0.球坐标系空间极坐标系球坐标1．设点M的柱坐标为3，5π3，2，它的直角坐标为()A．－32，32，2B．32，－32，2C．－32，32，2D．32，－32，2【答案】B【解析】由x＝ρcosθ＝3cos5π3＝32，y＝ρsinθ＝3sin5π3＝－32，z＝2，所以点M的直角坐标为32，－32，2．2.球坐标2，π6，π3对应的点的直角坐标是()A．32，12，3B．12，12，3C．12，32，3D．32，32，3【答案】C【解析】x＝rsinφcosθ＝2sinπ6cosπ3＝2×12×12＝12，y＝rsinφsinθ＝2sinπ6sinπ3＝2×12×32＝32，z＝rcosφ＝2cosπ6＝2×32＝3，故直角坐标为12，32，3．3．柱坐标3，π3，1关于Oxz平面的对称点为______．【答案】3，5π3，14．已知点M，N的柱坐标分别为2，π4，1，2，5π3，4，求线段MN的中点Q的直角坐标．【解析】利用互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z可得点M，N的直角坐标分别为(1,1,1)，(1，－3，4)，则线段MN的中点Q的直角坐标为1＋12，1－32，1＋42，即1，1－32，52．【例1】(1)空间一点M的直角坐标为(1,1,3)，求其在相应的柱坐标系中的坐标；(2)空间一点M的直角坐标为(1,1，2)，求其在相应的球坐标系中的坐标．【解题探究】由柱坐标、球坐标化为直角坐标，给出了具体的公式，将直角坐标化为柱坐标、球坐标，要会将公式逆运用．直角坐标系与柱、球坐标系的互化【解析】(1)由柱坐标到直角坐标的坐标变换公式为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，所以由直角坐标到柱坐标的坐标变换公式为ρ2＝x2＋y2＝2，tanθ＝yx＝1，z＝z＝3⇒ρ＝2，θ＝π4，z＝3(M在第一象限)．所以点M在相应的柱坐标系中的坐标为2，π4，3．(2)由球坐标到直角坐标的坐标变换公式为x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，所以由直角坐标到球坐标的坐标变换公式为r2＝x2＋y2＋z2＝4，cosφ＝zr＝2r，tanθ＝yx＝1⇒r＝2，cosφ＝zr＝22，tanθ＝1⇒r＝2，φ＝π4，θ＝π4.所以点M在相应的球坐标系中的坐标为2，π4，π4．由直角坐标到柱坐标的坐标变换公式为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx，z＝z.由直角坐标到球坐标的坐标变换公式为r2＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr，tanθ＝yx.1．设点M的柱坐标为2，5π4，2，则它的球坐标为()A．2，π4，π4B．2，π4，5π4C．2，5π4，π4D．2，3π4，π4【答案】B【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z)，则x＝2cos5π4，y＝2sin5π4，z＝2，即x＝－1，y＝－1，z＝2，∴M的直角坐标为M(－1，－1，2)．设点M的球坐标为(r，φ，θ)，则r2＝x2＋y2＋z2＝4，cosφ＝zr＝22，tanθ＝yx＝1，∴球坐标为2，π4，5π4.故选B．【例2】球坐标系中，求两点P3，π6，π4，Q3，π6，3π4的距离．【解题探究】可利用球坐标与空间直角坐标互化公式，转化为空间直角坐标系中两点的距离，再利用空间直角坐标系中两点间的距离公式求解即可．球坐标系中的几何问题【解析】由球坐标与空间直角坐标互化公式得x＝3sinπ6cosπ4＝3×12×22＝324，y＝3sinπ6sinπ4＝3×12×22＝324，z＝3cosπ6＝3×32＝332.∴P点的直角坐标为324，324，332．同理Q点的直角坐标为－324，324，332．∴PQ＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝322．也可利用球坐标定义，把所求距离放置在球体中利用几何知识求解，但这种方法不如互化简单，所以一般采用互化的方法．2．已知点P1的球坐标是P14，π2，5π3，P2的柱坐标是P22，π6，1，则|P1P2|＝()A．21B．29C．30D．42【答案】A【解析】∵P1的球坐标是P14，π2，5π3，∴xP1＝4sinπ2cos5π3＝2，yP1＝4sinπ2sin5π3＝－23，zP1＝4cosπ2＝0，即点P1(2，－23，0)．∵P2的柱坐标是P22，π6，1，∴xP2＝2cosπ6＝3，yP2＝2sinπ6＝1，zP2＝1，即点P2(3，1,1)．∴|P1P2|＝2－32＋－23－12＋1－02＝21．【例3】如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5)，C16，π2，5，求长方体的外接球的体积．【解题探究】根据顶点的柱坐标求出长方体的三边长，其外接球的直径恰为长方体的对角线的长．柱坐标系中的几何问题【解析】由柱坐标的定义可得OA＝4，OC＝6，OO1＝5，则对角线的长为42＋52＋62＝77．则外接球的体积为43×π×7723＝7777π6．掌握柱坐标中ρ，θ，z的规定，可以迅速地知道长方体中三边的长．也可转化为空间直角坐标解决．3．在柱坐标系中，求满足ρ＝1，0≤θ＜2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．【解析】根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ＜2π，0≤z≤2的动点M的轨迹是以Oz为轴，以1为底面半径，以2为高的圆柱，其体积为V＝Sh＝πr2h＝2π．在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，90°－φ称为高低角．