2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系 第6课时 直线的极坐标方程课件 新人教A版选修4-4

第6课时直线的极坐标方程直线的极坐标方程(1)在极坐标系中，θ＝α(ρ≥0)表示以极点为起点的__________，θ＝α(ρ∈R)表示过极点的__________；(2)在极坐标系中，过点A(a,0)(a＞0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是_____________；一条射线一条直线ρcosθ＝a(3)在极坐标系中，过点Aa，π2(a＞0)且平行于极轴的直线l的极坐标方程是____________；(4)在极坐标系中，过点A(a,0)(a＞0)且与极轴成α角的直线l的极坐标方程是________________________．ρsinθ＝aρsin(α－θ)＝asinα1.与方程θ＝π4(ρ0)表示同一曲线的是()A．θ＝π4(ρ∈R)B．θ＝5π4(ρ＜0)C．θ＝5π4(ρ∈R)D．θ＝π4(ρ＜0)【答案】B【解析】如果不作特别说明，一般有ρ0，则θ＝π4表示倾斜角为π4过极点的一条射线．A，C都表示直线，故不满足，D为其反向延长线上的一条射线．2．将极坐标方程ρsinθ－π3＝4化为直角坐标方程为()A．3x－y＋8＝0B．x－3y＋8＝0C．3x－y－8＝0D．x＋3y＋8＝0【答案】A【解析】ρsinθ－π3＝ρsinθcosπ3－cosθsinπ3＝12ρsinθ－32ρcosθ＝4，得直角坐标方程为12y－32x＝4，即3x－y＋8＝0．3．过点2，π6且平行于极轴的直线的极坐标方程为____________．【答案】ρsinθ＝1【解析】可转化为平面直角坐标系中解决，即过点(3，1)且平行于x轴的直线方程为y＝1，极坐标方程为ρsinθ＝1．4．如下图，求曲线θ＝0，θ＝π3(ρ≥0)和ρ＝4所围成图形的面积．【解析】曲线θ＝0即极轴，θ＝π3(ρ≥0)即过极点与极轴夹角为π3的一条射线，ρ＝4为以极点为圆心，4为半径的圆，所围图形的面积为S扇形OAB＝12α·r2＝12×π3×16＝8π3．【例1】求过点(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程．【解题探究】可利用直线的极坐标方程的求解方法，也可转化为直角坐标解决．求直线的极坐标方程【解析】解法一：设M为直线上除(2,0)外任意一点，其极坐标为M(ρ，θ)，如图，连接MO，则△MOA为直角三角形且∠OAM＝π2，OA＝2，则有方程ρcosθ＝2，点(2,0)也满足方程，则ρcosθ＝2即为所求圆的极坐标方程．解法二：将点(2,0)转化为直角坐标为(2,0)，垂直于极轴即垂直于x轴，则得所求直线的方程为x＝2，化为极坐标方程为ρcosθ＝2．极坐标系下直线方程的求法与直角坐标系下轨迹方程的求法类似，设直线上任一点为(ρ，θ)，列式化简得到ρ，θ的关系式即为所求直线的极坐标方程．1．求过A2，π4平行于极轴的直线方程．【解析】如图所示，在直线l上任意取点M(ρ，θ)．∵A2，π4，∴|MH|＝2·sinπ4＝2．在Rt△OMH中，|MH|＝|OM|sinθ，即ρsinθ＝2，∴过A2，π4平行于极轴的直线方程为ρsinθ＝2．【例2】在极坐标系中，求点P2，11π6到直线ρsinθ－π6＝1的距离．【解题探究】将点的坐标和直线的方程分别转化为平面直角坐标系下的坐标和方程，利用点到直线的距离公式解决．求点到直线的距离【解析】将点P的极坐标2，11π6化为直角坐标得(3，－1)．ρsinθ－π6＝ρsinθcosπ6－cosθsinπ6＝32ρsinθ－12ρcosθ＝1，得直线的直角坐标方程为3y－x＝2，即x－3y＋2＝0，所以点P到直线的距离为3＋3＋21＋3＝23＋22＝3＋1．将极坐标方程转化为直角坐标方程，是解决曲线问题较常用的方法．【答案】22．极点到直线ρ(cosθ－sinθ)＝2的距离为________．【解析】直线ρ(cosθ－sinθ)＝2的直角坐标方程为x－y－2＝0，极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d＝|－2|12＋－12＝2．【例3】已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθρ≥0，0≤θ＜π2，求曲线C1，C2的交点的极坐标．【解题探究】即为求直线和圆的交点的坐标，可联立方程组求解．直线与圆的位置关系【解析】由ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ得4cos2θ＝3，cos2θ＝34.又0≤θ＜π2，∴cosθ＞0，∴cosθ＝32，θ＝π6，ρ＝23，所求交点的极坐标为23，π6．也可转化为直角坐标方程求解．3．直线与2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为______．【答案】3【解析】直线2ρcosθ＝1的直角坐标方程为l：2x＝1，圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为圆C：(x－1)2＋y2＝1，易得圆C的圆心(1,0)到直线l的距离为12，由勾股定理可得相交弦长为2×1－122＝3．在极坐标系中，直线的方程不是唯一的．一个方程只对应一条直线，但一条直线却可以与多个方程对应．如θ＝π4(ρ∈R)与θ＝5π4(ρ∈R)表示同一条直线，即θ＝α(ρ∈R)与θ＝π＋α(ρ∈R)表示过极点的同一条直线．