2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系 第3课时 极坐标系的概念课件 新人教A版选修4-4

第3课时极坐标系的概念1．极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做______；自极点O引一条射线Ox叫做______；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个__________．极点极轴逆时针极坐标系2．点的极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的______，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的______，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的__________，记为M(ρ，θ)，如下图．一般地，如果不作特别说明，认为ρ≥0，θ可取任意实数．极径极角极坐标3．点的极坐标的唯一性一个极坐标只表示一个点，但反之一个点的极坐标有________种表示，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．极点O的坐标(0，θ)(θ∈R)．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，则除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．在这种条件下，极坐标平面内的点与极坐标(ρ，θ)也建立了一一对应关系．无数4．ρ＜0时极坐标的意义若ρ＜0，则－ρ＞0，规定点(－ρ，θ)与点(ρ，θ)关于________对称，即(－ρ，θ)与(ρ，π＋θ)表示同一点．即当ρ＜0时，点M(ρ，θ)位于极角θ终边的反向延长线上．M(ρ，θ)也可以表示为(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)．极点1．在极坐标系中，点M到极点的距离为3，∠xOM＝π6(逆时针方向)，则点M的极坐标为()A．3，π6B．π6，3C．3，－π6D．3，11π6【答案】A【解析】根据点的极坐标的定义，得ρ＝3，θ＝π6．2．在极坐标系中，与点P4，π3重合的点是()A．4，4π3B．4，－π3C．4，－5π3D．4，－4π3【答案】C【解析】(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，－5π3＝－2π＋π3，故选C．3．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)，若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是________．【答案】2，5π3【解析】ρ＝12＋－32＝2，tanθ＝－3且点P在第四象限，∴θ＝5π3.故点P的极坐标为2，5π3．4．在长方形ABCD中，已知AB＝23，BC＝2，以A为极点，AB为极轴建立极坐标系，写出各点的极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【解析】作出图形，明确极坐标系．由已知条件可得A(0,0)，B(23，0)，C4，π6，D2，π2．【例1】在下图的极坐标系中，写出点A，B，C，D，E的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．【解题探究】掌握极坐标系中点的极坐标的表示方法．点的极坐标【解析】A(6,0)，B6，π6，C5，2π3，D(2，π)，E4，4π3，F6，3π2，G3，11π6．点的极坐标的表示是不唯一的，如点E还可表示为－4，π3，4，4π3＋2π等．1．写出下列各点的极坐标．【解析】A(4,0)，B1，π3，C3，2π3，D4，13π12，E2，5π4，F3，3π2，G4，5π3．【例2】已知两点的极坐标A3，π2，B2，π6，求AB．【解题探究】可先画出图形，明确两点的位置关系．极坐标中两点之间的距离公式【解析】根据极坐标的定义，如图，可得AO＝3，BO＝2，∠AOB＝π2－π6＝π3．在△AOB中，利用余弦定理可得AB＝AO2＋BO2－2AO·BOcos∠AOB＝9＋4－2×3×2×12＝7．在极坐标系中，点P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)(ρ1，ρ2＞0)，则两点间距离P1P2可用余弦定理推导，即P1P2＝OP12＋OP22－2OP1·OP2cos∠P1OP2．2．在极坐标系中A3，π3，B4，－π6，则|AB|＝______．【答案】5【解析】根据极坐标的定义，可得|OA|＝3，|OB|＝4，∠AOB＝π3＋π6＝π2.所以△AOB为直角三角形．有|AB|2＝|OA|2＋|OB|2，故|AB|＝32＋42＝5．【例3】在极坐标系中，O是极点，设点A4，π3，B5，－5π6，求S△AOB．极坐标中三角形的面积公式【解题探究】有边有角，可考虑利用公式：S＝12absinC．【解析】如下图，可得AO＝4，BO＝5，∠AOB＝2π－π3－5π6＝5π6，S△AOB＝12AO·BOsin∠AOB＝12×4×5×12＝5．要明确－5π6表示的是什么，找出三角形的两边长及其夹角的度数．3．已知A，B两点的极坐标分别是2，π3，4，5π6，求△AOB的面积．【解析】S△AOB＝12|AO|·|BO|sin∠AOB＝12×2×4×sin5π6－π3＝12×2×4＝4．1．在极坐标系中，点M(ρ，θ)，N(－ρ，θ)，P(ρ，－θ)，Q(－ρ，－θ)位置关系可如下图．2．极坐标系中两点间距离公式在极坐标系中，点P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)(ρ1，ρ2＞0)，则两点间距离P1P2可用余弦定理推导，即P1P2＝OP12＋OP22－2OP1·OP2cos∠P1OP2．