2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系 第2课时 平面直角坐标系中的伸缩变换课件 新人教A版

第2课时平面直角坐标系中的伸缩变换1．伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称________．伸缩变换2．曲线方程形式1．为了得到函数y＝3sin2x＋π5(x∈R)的图象，只需把y＝3sinx＋π5的图象()A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短为原来的12倍，横坐标不变【答案】B【解析】将函数y＝Asin(x＋φ)的图象的横坐标伸长或缩短为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象，0＜ω＜1，伸长；ω＞1，缩短．3．在同一平面直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换x′＝x，y′＝4y后的图形的方程为________．【答案】2x′－y′＝4【解析】由x′＝x，y′＝4y得到x＝x′，y＝14y′，代入原直线方程，得x′－2×14y′＝2，即直线方程2x′－y′＝4．4．把圆x2＋y2＝4沿x轴方向均匀压缩为椭圆x′2＋y′24＝1，写出坐标变换公式．【解析】设坐标变换公式为x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0，由此得x＝1λx′，y＝1μy′，将其代入圆的方程，得x′2λ2＋y′2μ2＝4，即x′24λ2＋y′24μ2＝1，与椭圆方程x′2＋y′24＝1比较，得4λ2＝1,4μ2＝4，∴λ＝12，μ＝1．∴坐标变换公式为x′＝12x，y′＝y.【例1】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x′＝12x，y′＝4y后的图形：(1)x＋y＋2＝0；(2)x2＋y2＝1；(3)x24＋y23＝1；求伸缩变换后的图形(4)x24－y2＝1；(5)x2＝－4y；(6)y＝3sin2x．【解题探究】要分清楚P(x，y)是变换图形前的点的坐标，P′(x′，y′)是变换图形后的点的坐标，如果是由变换之前的方程求变换后的曲线方程应将变换转化为x＝1λ·x′λ＞0，y＝1μ·y′μ＞0代入原曲线方程，得到变换后的曲线方程，注意不要代反了．【解析】由坐标伸缩变换x′＝12x，y′＝4y，得到x＝2x′，y＝14y′.①(1)将①代入x＋y＋2＝0得2x′＋14y′＋2＝0，由此得到经过伸缩变换后的图形的方程为8x′＋y′＋8＝0.所以经过伸缩变换后，直线x＋y＋2＝0变成直线8x′＋y′＋8＝0．(2)将①代入x2＋y2＝1得(2x′)2＋14y′2＝1，由此得到经过伸缩变换后的图形的方程为x′214＋y′216＝1.所以经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝1变成了椭圆x′214＋y′216＝1．(3)将①代入x24＋y23＝1得2x′24＋14y′23＝1，由此得到经过伸缩变换后的图形的方程为x′2＋y′248＝1.所以经过伸缩变换后，椭圆x24＋y23＝1变成了焦点在y轴上的椭圆x′2＋y′248＝1．(4)将①代入x24－y2＝1得2x′24－14y′2＝1，由此得到经过伸缩变换后的图形的方程为x′2－y′216＝1.所以经过伸缩变换后，双曲线x24－y2＝1变成了双曲线x′2－y′216＝1．(5)将①代入x2＝－4y得(2x′)2＝(－4)×14y′，由此得到经过伸缩变换后的图形的方程为4x′2＝－y′，即x′2＝－14y′.所以经过伸缩变换后，抛物线x2＝－4y变成了抛物线x′2＝－14y′．(6)将①代入y＝3sin2x，得14y′＝3sin(2×2x′)，由此得到经过伸缩变换后的图形的方程为y′＝12sin(4x′)．所以经过伸缩变换后，正弦曲线y＝3sin2x变成了曲线y′＝12sin(4x′)．经过伸缩变换后，直线、双曲线、抛物线、正弦曲线等仍为直线、双曲线、抛物线、正弦曲线，圆则可以变成椭圆，反之，椭圆也可以变成圆．1．在同一坐标系下经过伸缩变换x′＝3x，y′＝2y后，圆的方程x2＋y2＝1变成了什么曲线？【解析】伸缩变换x′＝3x，y′＝2y可以化为x＝13x′，y＝12y′代入圆的方程x2＋y2＝1得13x′2＋12y′2＝1，即x′29＋y′24＝1.所以经过伸缩变换x′＝3x，y′＝2y后圆的方程x2＋y2＝1可以变成x′29＋y′24＝1，是一个椭圆的方程．【例2】在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝5x，y′＝3y后，曲线C变成曲线2x′2＋8y′2＝1，求曲线C的方程，说明是什么曲线．求原曲线方程【解题探究】把伸缩变换公式直接代入变换后的曲线方程，即可求出原曲线方程．【解析】将伸缩变换x′＝5x，y′＝3y代入曲线方程2x′2＋8y′2＝1中，得2(5x)2＋8(3y)2＝1，即50x2＋72y2＝1.所以曲线C的方程为50x2＋72y2＝1，曲线C是椭圆．伸缩变换前后的曲线方程及变换公式，要会知二求一．2．曲线C经过伸缩变换x′＝12x，y′＝3y后，对应曲线的方程为x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为()A．x24＋9y2＝1B．4x2＋y29＝1C．x24＋y29＝1D．4x2＋9y2＝1【答案】A【解析】把伸缩变换x′＝12x，y′＝3y代入x′2＋y′2＝1得到x24＋9y2＝1.故选A．【例3】在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使它满足下列图形的变换：(1)曲线4x2＋9y2＝36变成x′2＋y′2＝1；(2)曲线x2－y2－2x＝0变成x′2－16y′2－8x′＝0．求伸缩变换【解题探究】可先设出伸缩变换x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0，然后代入曲线方程，和另一曲线方程等价，求出λ，μ的值即可．【解析】(1)设伸缩变换为x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0，将其代入x′2＋y′2＝1得(λx)2＋(μy)2＝1，即λ2x2＋μ2y2＝1．原曲线方程可变形为x29＋y24＝1，所以λ2＝19，μ2＝14，得λ＝13，μ＝12．所以所求的伸缩变换为x′＝13x，y′＝12y.(2)设伸缩变换为x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0，即x＝1λx′，y＝1μy′，将其代入x2－y2－2x＝0得1λx′2－1μy′2－21λx′＝0，即μ2x′2－λ2y′2－2λμ2x′＝0，所以μ2＝1，λ2＝16,2λμ2＝8，得λ＝4，μ＝1．所以所求的伸缩变换为x′＝4x，y′＝y.①在求伸缩变换中，可以先设出伸缩变换x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0，直接代入变换后的曲线方程，得出原曲线的方程，再利用等价性求解得出λ，μ的值，也可以由x′＝λx，y′＝μy得x＝1λx′，y＝1μy′，将其代入原曲线方程，得到变换后的曲线方程．②一般情况下，伸缩变换中，只考虑λ，μ取正值的情况．3．经过一个伸缩变换后，圆x2＋y2＝4变为椭圆x′2＋y′24＝1，求这个伸缩变换．【解析】设这个伸缩变换为x′＝kx，y′＝hy，将其代入x′2＋y′24＝1中得k2x2＋h2y24＝1，即4k2x2＋h2y2＝4，所以4k2＝1，h2＝1，得k＝12，h＝1.所以所求的伸缩变换为x′＝12x，y′＝y.伸缩变换的注意点(1)λ＞0，μ＞0；(2)把图象看成是点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用点的坐标的伸缩变换得到；(3)在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，即在同一直角坐标系下进行伸缩变换．