2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系 4 柱坐标系与球坐标系简介课件 新人教A版选修4-4

第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点)自主探新知预习教材整理1柱坐标系阅读教材P16～P17“思考”及以上部分，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作，其中ρ≥0,0≤θ2π，－∞＜Z＜＋∞.柱坐标系(ρ，θ，z)P(ρ，θ，z)已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为()A．(1,1,0)B．(1,0,1)C．(0,1,1)D．(1,1,1)[解析]∵x＝ρcosθ＝1，y＝ρsinθ＝0，z＝1，∴直角坐标为(1,0,1)，故选B.[答案]B教材整理2球坐标系阅读教材P17～P18，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的________为θ.这样点P的位置就可以用有序数组表示．这样，空(r，φ，θ)最小正角间的点与有序数组之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(r，φ，θ)已知点A的球坐标为3，π2，π2，则点A的直角坐标为()A．(3,0,0)B．(0,3,0)C．(0,0,3)D．(3,3,0)[解析]∵x＝3×sinπ2×cosπ2＝0，y＝3×sinπ2×sinπ2＝3，z＝3×cosπ2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B.[答案]B合作提素养探究点的柱坐标与直角坐标互化【例1】(1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标；(2)设点N的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．[思路探究](1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，求出ρ，θ即可．(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，求出x，y，z即可．[自主解答](1)设M的柱坐标为(ρ，θ，z)，则由1＝ρcosθ，1＝ρsinθ，z＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4，因此，点M的柱坐标为2，π4，1.(2)设N的直角坐标为(x，y，z)，则由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，得x＝πcosπ，y＝πsinπ，z＝π，∴x＝－π，y＝0，z＝π，因此，点N的直角坐标为(－π，0，π)．1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)2，5π6，3；(2)2，3π4，2.[解]设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)x＝ρcosθ＝2cos5π6＝－3，y＝ρsinθ＝2sin5π6＝1，z＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．(2)x＝ρcosθ＝2cos3π4＝－1，y＝ρsinθ＝2sin3π4＝1，z＝2，因此所求点的直角坐标为(－1,1,2).将点的球坐标化为直角坐标【例2】已知点M的球坐标为2，34π，34π，求它的直角坐标．[思路探究]球坐标――――――――――――――→x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ直角坐标[自主解答]设点的直角坐标为(x，y，z)，则x＝2sin34πcos34π＝2×22×－22＝－1，y＝2sin34πsin34π＝2×22×22＝1，z＝2cos34π＝2×－22＝－2，因此点M的直角坐标为(－1,1，－2)．1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ2π.2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，转化为三角函数的求值与运算．2．若例2中“点M的球坐标改为M3，56π，53π”，试求点M的直角坐标．[解]设M的直角坐标为(x，y，z)，则x＝rsinφcosθ＝3sin5π6cos5π3＝34，y＝rsinφsinθ＝3sin5π6sin5π3＝－334，z＝rcosφ＝3cos5π6＝－332，∴因此M的直角坐标为34，－334，－332.空间点的直角坐标化为球坐标【例3】已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱AA1的长为2，如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标和球坐标．[思路探究]先确定C1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．[自主解答]点C1的直角坐标为(1,1，2)．设C1的球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ2π，由x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，得r＝x2＋y2＋z2＝12＋22＋12＝2.由z＝rcosφ，∴cosφ＝22，φ＝π4，又tanθ＝yx＝1，∴θ＝π4，从而点C1的球坐标为2，π4，π4.1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ求出r，θ，φ.2．利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝yx，cosφ＝zr，特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．3．若本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标．[解]易知C的直角坐标为(1,1,0)．设点C的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ2π.(1)由于ρ＝x2＋y2＝12＋12＝2.又tanθ＝yx＝1，∴θ＝π4，因此点C的柱坐标为2，π4，0.(2)由于r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋0＝2.又cosφ＝zr＝0，∴φ＝π2.又tanθ＝yx＝1，∴θ＝π4，故点C的球坐标为2，π2，π4.柱、球坐标系——柱坐标系—球坐标系—柱坐标、球坐标的互化当堂固双基达标1．在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为2，π4，3，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为()A．(2,0,3)B.2，π4，0C.2，π4，3D．(2，π4，0)[解析]由点的空间柱坐标的意义可知，选B.[答案]B2．柱坐标P16，π3，5转换为直角坐标为()A．(5,8,83)B．(8,83，5)C．(83，8,5)D．(4,83，5)[解析]由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθz＝z，得x＝16cosπ3＝8，y＝16sinπ3＝83，z＝5，即P点的直角坐标为(8,83，5)．[答案]B3．已知一个点的球坐标为2，3π4，π4，则它的高低角为()A．－π4B.3π4C.π2D.π3[解析]∵φ＝3π4，∴它的高低角为π2－φ＝－π4.[答案]A4．设点M的直角坐标为(1,1，2)，则点M的柱坐标为________，球坐标为________．[解析]由坐标变换公式，可得ρ＝x2＋y2＝2，tanθ＝yx＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy的第一象限)，r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋22＝2.由rcosφ＝z＝2，得cosφ＝2r＝22，φ＝π4.∴点M的柱坐标为2，π4，2，球坐标为2，π4，π4.[答案]2，π4，22，π4，π45．已知点P的柱坐标为2，π4，5，点B的球坐标为6，π3，π6，求这两个点的直角坐标．[解]设点P的直角坐标为(x1，y1，z1)，则x1＝2cosπ4＝1，y1＝2sinπ4＝1，z＝5.设点B的直角坐标为(x2，y2，z2)，则x2＝6sinπ3cosπ6＝6×32×32＝364，y2＝6sinπ3sinπ6＝6×32×12＝324，z2＝6cosπ3＝6×12＝62.所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为364，324，62.