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第2课时平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段________．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段________．成比例成比例3．比例的性质：(1)比例的基本性质：若bd≠0，则ab＝cd⇔________.特殊地，若bc≠0，则ab＝bc⇔b2＝ac，其中b叫做a和c的比例中项．(2)合比性质：ab＝cd⇔________＝c＋dd；ab＝cd⇔________＝c－dd.ad＝bca＋bba－bb(3)等比性质：ab＝cd＝…＝mn⇒a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝mn(b＋d＋…＋n≠0)．(4)黄金分割：点C把线段AB分成AC和BC两条线段，且使AC2＝AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝______AB≈0.618AB．5－12【答案】D1．如图，已知AD∥BE∥CF，则下列比例式成立的是()A．ADDE＝ADBEB．ABEF＝DEBCC．ACEF＝DFBCD．BCAC＝EFDF2．如图，已知AD∥BE∥CF，AB＝2，BC＝3，DE＝2.4，则EF＝()A．1.6B．3C．3.6D．4.8【答案】C3．如图所示，已知AA′∥BB′∥CC′，AB∶BC＝1∶3，那么下列等式成立的是()A．AB＝2A′B′B．3A′B′＝B′C′C．BC＝B′C′D．AB＝A′B′【答案】B4．如图，已知ADDB＝45，DE∥BC，则ECAC＝()A．95B．54C．59D．49【答案】C【解题探究】由于DE＋EF＝DF＝15，因此可先求出DE，EF中的一个，再用此关系求出另一个．由已知可考虑用平行线分线段成比例定理求解．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例【例1】如图所示，l1∥l2∥l3，ABBC＝23，DF＝15，求DE，EF的长．【解析】∵l1∥l2∥l3，∴ABBC＝DEEF＝23.∴由合比性质，得DE＋EFEF＝2＋33⇒DFEF＝53.又DF＝15，∴15EF＝53⇒EF＝9.∴DE＝DF－EF＝15－9＝6.本题的求解用到了合比性质，因此熟练掌握比例的有关性质很重要．另外，本题除用上面的方法外，也可利用ABBC＝DEDF－DE＝23，先求出DE，再求EF.1．如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的是()A．ADDF＝CEBCB．ADBE＝BCAFC．CEDF＝ADBCD．AFDF＝BECE【答案】D比例线段的性质【例2】如图所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且ADDB＝AEEC.求证：(1)ABDB＝ACEC；(2)ADAB＝AEAC.【解题探究】由于AB＝AD＋DB，AC＝AE＋EC，因而可考虑用合比性质证明．【证明】(1)在△ABC中，因为ADDB＝AEEC，所以由合比性质，得ADDB＋1＝AEEC＋1⇒AD＋DBDB＝AE＋ECEC，即ABDB＝ACEC.(2)因为ADDB＝AEEC，所以由合比性质，得ADDB＝AEEC⇒DBAD＝ECAE⇒DBAD＋1＝ECAE＋1⇒DB＋ADAD＝EC＋AEAE，即ABAD＝ACAE，所以ADAB＝AEAC.在条件等式的证明中，找出要证等式与已知等式的异同点往往是证明的突破口．如本题(1)的证明，欲证等式与已知等式的分母完全相同，而欲证等式的分子刚好是已知等式的分子与分母之和，从而想到合比性质．2．如图所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论不正确的是()A．ADCD＝AFBFB．CECB＝CDCAC．CDAD＝CEBED．AFBF＝CDAD【答案】D【例3】如图所示，已知EF∥BC，DF∥AB，AE＝1.8cm，BE＝1.2cm，CD＝1.4cm，求BD的长．【解题探究】用平行线分线段成比例定理的推论，得出已知线段和欲求线段的关系式，再利用比例的性质求解．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例【解析】∵EF∥BC，∴AEBE＝AFCF.又∵DF∥AB，∴BDCD＝AFCF.∴AEBE＝BDCD.又AE＝1.8cm，BE＝1.2cm，CD＝1.4cm，∴1.81.2＝BD1.4，解得BD＝2.1cm.找到对应线段，正确地列出比例式是解决本题的关键．3．如图，已知ADDB＝45，DE∥BC，则ECAC＝()A．95B．54C．59D．49【答案】C【解析】∵ADDB＝45，∴DBAB＝59.∵DE∥BC，∴ECAC＝DBAB＝59.故选C．1．平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广．2．教材在对平行线分线段成比例定理的探究中，用到了由特殊到一般的思想方法，这是探究问题的一种常用方法．但教材中并未给出平行线分线段成比例定理的严格证明，由于该定理的证明非常复杂，因此证明方法不要求掌握．3．利用平行线分线段成比例定理及其推论，要注意线段的对应关系，有时要用到比例的一些性质才能解决相关问题，过定点作某一线段的平行线是常用的作辅助线的方法．4．“平行线”在解决比例问题时有很重要的作用，如题目中有平行线，要充分利用这一条件，若没有平行关系，需构造一组平行线，利用平行关系，找出对应的比例关系．5．在利用平行线分线段成比例定理求线段的长时，常因利用比例的性质变形不当致误，因此，熟练掌握比例的性质是减少此类错误的有效方法．