2019-2020学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 第1课时 不等式的基本性质课件 新人教

第1课时不等式的基本性质1．两个实数大小的比较法则a－b＞0⇔________；a－b＝0⇔________；a－b＜0⇔________；这是我们比较两个实数大小的基本方法(作差法)的理论依据．作差法的步骤为：______——______——______(与0比较大小)——______.a＞ba＝ba＜b作差变形定号结论2．不等式的基本性质性质1：a＞b⇔________(对称性)；性质2：a＞b，b＞c⇒________(传递性)；性质3：a＞b⇔____________(可加性)；推论1：a＋b＞c⇔____________(移项法则)；推论2：a＞b，c＞d⇒____________(不等式的加法法则)；b＜aa＞ca＋c＞b＋ca＞c－ba＋c＞b＋d性质4：a＞b，c＞0⇒________；a＞b，c＜0⇒________(可乘性)；推论：a＞b＞0，c＞d＞0⇒________(不等式的乘法法则)；性质5：a＞b＞0⇒________(n∈N，n≥2)(乘方法则)；性质6：a＞b＞0⇒________(n∈N，n≥2)(开方法则)．ac＞bcac＜bcac＞bdan＞bnna＞nb1．下列命题中正确的个数是()(1)如果a＞b，那么ac＞bc；(2)如果a＞b，那么ac2＞bc2；(3)如果a＞b，那么an＞bn(n∈N*)；(4)如果a＞b，c＜d，那么a－c＞b－d.A．1个B．2个C．3个D．0个【答案】A【解析】利用反例可知(1)(2)(3)错．2．设f(x)＝(x＋1)(x＋2)，g(x)＝(x－3)(x＋6)，则有()A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)＜g(x)D．以上都有可能【答案】A【解析】f(x)－g(x)＝20＞0.3．已知a＜b＜c且a＋b＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是________________．【答案】一正根一负根【解析】∵a＜b＜c，∴3a＜a＋b＋c＜3C．∴a＜0，c＞0.∴b2－4ac＞0且ac＜0.∴方程有两个，一正根一负根．4．已知0＜a＜1，比较a，1a，a2的大小．【解析】∵a－1a＝a＋1a－1a＜0，∴a＜1a.又∵a－a2＝a(1－a)＞0，∴a＞a2.∴a2＜a＜1a.不等式的性质【例1】对于实数a，b，c，有下列命题：(1)若a＞b，则a|c|＜b|c|；(2)若ac2＞bc2，则a＞b；(3)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；(4)若c＞a＞b＞0，则ac－a＞bc－b；(5)若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.其中真命题的个数是()A．5B．4C．3D．2【解题探究】利用不等式性质，正确的能证明，错误的举反例．【解析】(1)显然c＝0时不成立．(2)由已知得c2＞0，∴命题为真．(3)∵a＜b＜0，∴a2－ab＝a(a－b)＞0，ab－b2＝b(a－b)＞0.∴a2＞ab＞b2.命题为真．(4)∵c＞a＞b＞0，∴ac－a－bc－b＝ac－b－bc－ac－ac－b＝ca－bc－ac－b＞0.∴ac－a＞bc－b.命题为真．(5)∵1a－1b＝b－aab＞0，而a＞b，∴ab＜0，从而a＞0，b＜0.命题为真．故真命题有4个，选B.掌握和灵活应用不等式性质是解决问题的关键，合理取特殊值及举反例是提高解题速度和准确性的有效手段．1．(2017年重庆期中)对于任意实数a，b，c，d，下列命题正确的是()A．若a＞b，c≠0，则ac＞bcB．若a＞b，则ac2＞bc2C．若ac2＞bc2，则a＞bD．若a＞b，则1a＜1b【答案】C【解析】选项A中，当c＜0时，不成立；选项B中，当c＝0时，不成立；选项C中，∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0，∴一定有a＞b，故C成立；选项D中，当a＞0，b＜0时，不成立．故选C．【例2】已知函数f(x)＝ax2－c，满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．【解题探究】先利用待定系数法建立f(1)，f(2)，f(3)的线性关系，再利用不等式的性质求解．不等式的应用【解析】由a－c＝f1，4a－c＝f2求得a＝13f2－f1，c＝－43f1＋13f2.∴f(3)＝9a－c＝－53f(1)＋83f(2)．又53≤－53f(1)≤203，－83≤83f(2)≤403，∴－1≤－53f(1)＋83f(2)≤20.∴－1≤f(3)≤20.(1)同向不等式相加或相乘会使范围变大，所以在解答这类问题时，尽量少用，次数越少越好．(2)本题通过待定系数法，首先确定α，β，使f(3)＝αf(1)＋βf(2)，再利用不等式的性质求解，所以仅用了一次同向不等式相加．2．若实数x，y满足4x2＋2x＋y2＋y＝0，求2x＋y的取值范围．【解析】把已知式子配方可得2x＋122＋y＋122＝12.设2x＋12＝22cosθ，y＋12＝22sinθ，则x＝24cosθ－14，y＝22sinθ－12.∴2x＋y＝2×24cosθ－14＋22sinθ－12＝22cosθ＋22sinθ－1＝sinθ＋π4－1.∵－1≤sinθ＋π4≤1，∴－2≤sinθ＋π4－1≤0，∴2x＋y的取值范围为[－2,0]．【解题探究】利用作差法比较其大小．实数大小的比较【例3】已知a，b为正整数，试比较ab＋ba与a＋b的大小．【解析】由题知ab＋ba－(a＋b)＝ab－b＋ba－a＝a－bb＋b－aa＝a－ba－bab＝a＋ba－b2ab.∵a＞0，b＞0，∴a＋ba－b2ab≥0.∴ab＋ba≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立．比较大小最基本的方法是作差，关键是对差式合理变形，使其成为积的形式，便于判断差值正负．3．(2017年库尔勒期末)已知a＞1，求证：a＋1＋a－1＜2a.【证明】∵a＞1，∴a＋1＞0，a－1＞0，a＞0.则a＋1＋a－1－2a＝a＋1－a－(a－a－1)＝1a＋1＋a－1a＋a－1.∵a＋1＋a＞a＋a－1，∴1a＋1＋a＜1a＋a－1，即a＋1＋a－1＜2a.1．研究和应用不等式时(1)特别注意不等号方向的变化，即“方向问题”；(2)应用时先看条件是否充分，注意符号⇔，⇒的使用；(3)类比实数运算，用语言叙述可以加深理解和记忆；(4)加强反例和特殊值的功能，明确取等号的条件．2．用作差法比较实数的大小，关键是“变形”，常用技巧是：配方、因式分解、通分等．