浅谈中考热点“隐形圆”模型的应用

龙源期刊网浅谈中考热点“隐形圆”模型的应用作者：杨格瑞来源：《新丝路（下旬）》2019年第08期龙源期刊网摘要：陕西省近几年的中考压轴题，“隐形圆”成为出题人更加青睐的考点。“隐形圆”通常活跃于各校模拟试题，因难度系数大，学生不易接受，所以得分率一直都很低.因其考点新颖，有创新又不失难度，所以在近几年的陕西中考中也开始陆续出现了关于“隐形圆”的问题.关键词：“隐形圆”;定点加定长;定边对定角;最值;中考压轴题一、问题提出出现“隐形圆”的情况无外乎就是点的运动轨迹，线段最值、面积最值、周长最值。但在题目中，往往不会直接出现“隐形圆”，需要去做辅助线，对于几何问题，困难的往往不在于本身题目的难度，而在于辅助线的思考。那么什么时候出现做辅助线是圆呢？一个圆的辅助线又是怎样做出的？笔者对近几年陕西中考压轴题潜心研究，得出了一些关于“隐形圆”的方法。二、“隐形圆”存在的条件1.圆的定义。在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点为圆心，定长为半径，那到到定点的距离等于定长的点的运动轨迹就是一个“隐形圆”，所以就可以得出“隐形圆”存在的第一个条件：定点加定长，产生“隐形圆”。（如图1）2.圆周角定理推论。同弧所对的圆周角相等。但在一个三角形中，如果知道一条边和这条边所对的角，那么利用圆周角定理推论得出点C的运动轨迹是在双弧上。所以就可以得出“隐形圆”存在的第二个条件：定边对定角，产生“隐形圆”。（如图2）三、圆中最值模型的建立1.点到圆上的最值（如图3）结论：点到圆上点，共線（点，圆心）有最值2.线到圆上点的最值（如图4）结论：线到圆上点，过圆心向直线作垂线有最值。四、利用“隐形圆”数学模型，解决实际问题1.利用“定点加定长”，做“隐形圆”若图形中出现一个点不动，为定点，这个点出发的线段是定值，则利用圆的定义，得到这个点的运动轨迹是圆，所以破解此类题的核心是利用“定点加定长”，做“隐形圆”。如：翻折问题龙源期刊网、如图5，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，连接GC，则GC长度的最小值是（;;;;）。本题作法：如图所示：点E为定点，不管怎么折，EG=EA=1，根据折叠的性质，△AFE≌△GFE，利用“定点加定长”，做“隐形圆”，所以点G的运动轨迹是以E为圆心，EG=1为半径的隐形圆，当G、C、E三点共线时，有最小值为。2.利用“定边对定角”，做“隐形圆”若几何动态图形中始终有出现一条边是定值，它所对的角度数不变，那么这个角的顶点的运动轨迹是“隐形圆”的双弧。所以破解此类题的核心是利用“定边对定角”，做“隐形圆”。例2、（2017年陕西省中考第25题第3问）如图6，已知正方形ABCD的边长为2，E，F是边BC，CD上的动点，E从B开始运动，F从C开始运动，且运动速度相同，BF，AE交于P，连接PC，求：1.PC的最小值为（;;）2.△ABP面积最大值为（;;;）3.△ABP周长最大（;;;;;）本题作法：如图所示：AB为定值，所对的∠APB=90°，“定边对定角”的“隐形圆”，（1）当O、P、C三点共线时，PC最小值为。考查的是点到圆上点的最值。（2）求△ABP面积最大值，实质是圆上一点到直线AB的最小值，即线到圆上点的最值，过圆心做垂线与圆相交，即当△ABP为等腰直角三角形时，△ABP面积最大，最大面积为1.（3）求△ABP周长最大，实质是点A到圆上点的最值，化折为直将BP通过等长截取，存在等腰三角形△BPM，△ABP周长最大即为AM最大值，存在△ABM的外接圆，当AM为直径时，周长最大，有最大值为。在“隐形圆”方面还需要学生多多的做练习，解题时时刻牢记定点定长走圆周，定边定角跑双弧，直角必有外接圆，对角互补也共圆，处理中考压轴题就可以得心应手，游刃有余。参考文献：[1]教育部.初中数学教与学.北京：中国人民大学出版社[2]邵新虎、王凤进、罗新展.利用几何画板探究数学问题.陕西：北京师范大学出版社[3]马学斌.挑战中考压轴题.上海：华东师范大学出版社