中考隐形圆问题.docx

12019中考数学复习隐形圆问题大全定点+定长1.依据：至U定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。定点十定长r∣s2.应用:(1)如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2BC=1,AB//CD求BD的长。简析：因AB=AC=AD=2知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB//得DE=BC=I易求BD=√15。(2)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，F是线段E边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F,连接B'D,则B'D的最小值是____________________.AJ2UrC简析：E为定点，EB'为定长，B'点路径为以E为圆心EB为半径的圆,作穿心线DE得最小值为210。ΛD(3)ΔABC中，AB=4,AC=2,以BC为边在ΔABC外作正方形BCDEBDCE交于点0,则线段Ao的最大值为简析：先确定A、B点的位置，因AC=2,所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点0是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1:√2缩小而得,所以把圆A旋转45度再1:血缩小即得0点路径。如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+F0=√2。3定线+定角1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦,周角的弧。（2）如图，∠XoY=45°,等边三角形ABC的两个顶点OY上移动，AB=2,那么OC的最大值为.定角为圆2.应用：（1）矩形ABCD中，AB=10,AD=4,点P是CD上的动点,求DP的长.当∠APB=90o时简析：AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以的弧，如下图，易得DP为2或8。AB为弦（直径）A、B分别在OX4简析：AB为定线，∠XoY为定角，0点路径为以AB为弦所含圆周角为45的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+M0=3+1+.2（3）已知A（2，0），B（4，0）是X轴上的两点，点C是y轴上的动点,当∠ACB最大时，则点C的坐标为_______简析：作ΔABC的处接圆M,当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。5如下图，易得C点坐标为(0,22)或(O,-2/2)(4)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax^2-3ax-4a的图象经过点C(0,2),交轴于点A、B,(A点在点左侧),顶点为D.①求抛物线的解析式及点A、B的坐标；②将ΔABC沿直线BC对折，点A的对称点为A',试求A'的坐标；③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=/BAQ若存在,求出点P的坐简析③：定线BC对定角∠BPC=ZBAC则P点在以BC为弦的双弧上(关于BC对称)，如下图所示6三三点定圆1.依据：不在同一直线上的三点确定一个圆ΔABC中，∠A=45°,AD丄BC于D,BD=4,CD=6,求AD的长。简析：作ΔABC的外接圆，如下图，易得AD=7+5=12°72.应用：如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P、E分别是线段ACBC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2,求CF的长。简析：因∠PEF=∠PDF=ZDCE=90,知DF、C、E、P共圆，如下图，由∠1=∠2、Z4=∠5，易得ΔAPCHΔDCFCF:A=CDAD,得CF=1.5。五旋转生圆1.如图，圆O的半径为5,AB是圆上任意两点，且AB=6,以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为________。简析：CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC,:是最近点距离为P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如下图。8S--(πBC--aτACjS125x=—^TC------------83六动圆综合1.动圆+定弦：依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。如图,△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OEOF分别交射线ABBC于E、F,贝UEF的最小值为_________.DBS^ACl-JTCHi=TrC简析：扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。9简析：图中显然OE、F、B共圆，圆是动的，但弦BQ=5,当BQ为直径时最小，所以EF最小为5.2.动圆+定线：相切时为临界值。如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC=30°,AB=6,点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合）,且DA=DE,贝UAD的取值范围3.动弦+定角：圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小。是OD与BC相切时,B点），得2≤10已知：△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,D、E分别为ABAC边上的一个动点，过D分别作DF⊥AC于F,DGLBC于G,过E作EH丄AB于H,El丄BC于I,连FGHI,求证：FG与HI的最小值相等。简析：可以看HI何时最小，因B、H、E、I共圆，且弦HI所对圆周角一定，所以当此圆直径最小时弦HI最小，即当BE最小时，此时BELAC,解厶OH可得HI的最小长度。同样可求FG的最小长度。此题可归纳一般结论：当∠ABC=α,∠ACB=β,BC=m时，FG和HI的最小值均为m*sinα*sinβ°11达标测试：1.BC=AC=6,∠BCA=90°,∠BDC=45°,AD=2,求BD.2.如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC,继续旋转α(0°VaV120°)得到线段AD,连接CD,BD,则∠BDC的度数为3._________________________________________________________如图，在边长为2√3的等边△ABC中，动点DE分别在BCAC边上,且保持AE=CD连接BE、AD,相交于点P,则CP的最小值为_________________________________.124.如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F,求证：FE=DE.AEB3/5.当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何观赏最理想吗？如图，设墙壁上的展品最高点P距离地面2.5米，最低点Q距地面2米，观察者的眼睛E距地面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为_________米.6.如图直线y=x+2分别与X轴，y轴交于点MN,边长为1的正方形OABC的一个顶点O在坐标系原点，直线AN与MC交于点P,若正方形OABC绕点O旋转一周，则点P到点（0,1）长度的最小值是________.2016?淮安填压）如图，在Rt△ABC中，/C=90°，AC=6，BC=8,点F在边AC上，并/SIQA13且CF=2,点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点【分析】如图，延长FP交AB于M,当FP丄AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFMABC,得至求出FM即可解决问题.ABBC【解答】解：如图，延长FP交AB于M,当FP丄AB时，点P到AB的距离最小.（点PAFABBCVCF=2,AC=6,BC=8,•AF=4，AB=JAQ+E严=10，4FIfl108•FM=3.2,VPF=CF=2,•PM=1.2•点P到边AB距离的最小值是1.2.故答案为1.2.（2016?无锡填空倒2）如图，已知？OABC的顶点A、C分别在直线X=1和X=4上，O是FP丄AB时，点P到AB的距离最小）•••△AFMABC,14坐标原点，则对角线OB长的最小值为_________.15交直线X=4于点D,过点B作BE⊥X轴，交X轴于点E.则OB=「；.J∣j：「'.由于四边形OABC是平行四边形，所以OA=BC,又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD,则可证明厶OAF◎△BCD,所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求.【解答】解：过点B作BD丄直线X=4,交直线X=4于点D,过点B作BE⊥X轴，交X轴于点E,直线X=1与OC交于点M,与X轴交于点F,直线X=4与AB交于点N,如图:•••四边形OABC是平行四边形,∙∙∙∠OAB=∠BCO,OC//AB,OA=BC,T直线X=1与直线X=4均垂直于X轴，∙AM//CN,∙四边形ANCM是平行四边形，∙∠MAN=∠NCM,∙∠OAF=∠BCD,τ∠OFA=∠BDC=90°,∙∠FOA=∠DBC,在厶OAF和厶BCD中，rZFOA=ZDBC〈OA=BC,LZOAK=ZBCD•••△OAF也厶BCD..∙.BD=OF=1,∙OE=4+1=5,•OB=寸O^+BE?.由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在X轴上）,OB取得最小值，最小值为16OB=OE=5.故答案为：5.XICVO\X=1K=（2017?南通选压）如图，矩形ABCD中，AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形长取最小值，过点G作GG'丄AB于点G',由对称结合矩形的性质可知:AB=10、GG'=AD=5,利用勾股定理即可求出E'G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值.【解答】解：作点E关于BC的对称点E',连接E'G交BC于点F,此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG'丄AB于点G',如图所示.∙/AE=CG,BE=BE',.∙.E'G'=AB=10,∙.∙GG'=AD=5,∙∙∙E'G=寸EyGr+G(√2=5£,.C四边形EFGH=2E'G=10.!・.故选：B.【分析】作点E关于BC的对称点E',连接E'G交BC于点F,此时四边形EFGH周E'G'EFGH周长的最小值为（C.B.10.^A.5.^'Er(2018?镇江选压)如图，一次函数y=2x与反比例函数y=丄(k0)的图象交于A,B两点，点P在以C(-2,0)为圆心，1为半径的ΘC上，Q是AP的中点，已知OQ长的)【分析】作辅助线,C.3225先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时,BP最长,设B(t,2t),贝UCD=t-(-2)=t+2,BD=-2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值.【解答】解：连接BP,由对称性得：OA=OB,∙∙∙Q是AP的中点,∙∙∙OQ=丄BP，VOQ长的最大值为自∙∙∙BP长的最大值为i2=3,如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD丄X轴于D,•/CP=1,∙∙∙BC=2,VB在直线y=2x上，设B(t,2t),贝UCD=t-(-2)=t+2,BD=-2t,在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2,16是2;18∙∙∙22=(t+2)2+(—2t)2,4t=0（舍）或-=,5∙B55•••点B在反比例函数y=L（k0）的图象上,（2018?无锡）如图，已知∠XoY=60°,点A在边OX上，OA=2.过点A作AC丄OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC,点P是厶ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD//OY交OX于点D,作PE//OX交OY于点E.设OD=a,EP=OD=a,在Rt△HEP中，∠EPH=30°,可得EH的长，计算a+2b=2OH,确认OH最大和最小值的位置，可得结论.【解答】解：过P作PH丄OY交于点H,∙∙∙PD//OY,PE//OX,∙四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°,.∙.EP=OD=a,Rt△HEP中，∠EPH=30°,∙a+2b=2（丄a+b）=2（EH+EO）=2OH,当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=丄OA=1,即a+2b的最小值L≤JEODP是平行四边形，得19=√3（4-a）,构建二次函数，禾U用二次函数的性质即可解决问题;∙∙∙∠APC=120°,∠EPB=60°,∙∙∙M,N分别是对角线AC,BE的中点，∙∠CPM=寺∠APC=60°,∠EPN=∕∠EPB=30°,∙∠MPN=60°+30°=90°,设FA=2a,贝UPB=8—2a,PM=a,PN=.:(4—a),∙MN=J-J「」•-：「=.」I'；1='■：，∙∙