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第5章力与平衡章末复习课巩固层知识整合[体系构建][核心速填]1．力的合成与分解(1)遵守定则：__________定则或______定则．(2)两个共点力的合力范围：_____________≤F≤__________.2．共点力的平衡(1)平衡状态：物体保持____或____________状态．(2)共点力的平衡条件：________.平行四边形三角形|F1－F2|F1＋F2静止匀速直线运动F合＝0提升层能力强化力的合成与分解思维方法的应用根据已知力分析未知力的大小，其分析步骤如下：1．确定研究对象．2．对研究对象进行受力分析．3．当物体受到的力不超过三个时，一般采用力的合成和分解法：(1)确定要合成和分解的力．(2)根据平行四边形定则作出合力或分力．(3)根据数学知识计算合力或分力．4．当物体受到的力超过三个时，一般采用正交分解法：(1)建立直角坐标系，使尽可能多的力落在坐标轴上．(2)将各力正交分解在坐标轴上．(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列方程．【例1】(多选)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的．平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ.AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是()A．F1＝mgcosθB．F1＝mgcotθC．F2＝mgsinθD．F2＝mgsinθBD[方法一：合成法由平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图甲所示，又考虑到F12＝mg，解直角三角形得F1＝mgcotθ，F2＝mgsinθ，故选项B、D正确．方法二：分解法F2共产生两个作用效果，一个是水平方向沿A→O拉绳子AO，另一个是拉着竖直方向的绳子．如图乙所示，将F2分解在这两个方向上，结合力的平衡等知识得：F1＝F′2＝mgcotθ，F2＝F″2sinθ＝mgsinθ，故选项B、D正确．][一语通关]力的合成与分解都遵从平行四边形定则(或三角形定则)，计算时要先根据要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或力的分解的示意图，再根据数学知识解三角形，主要是求解直角三角形．1．水平横梁一端插在墙壁内，另一端装小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10N/kg)()A．50NB．503NC．100ND．1003NC[以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力是F＝mg＝100N，故小滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都是100N．从图中看出，∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE，得∠CBE＝∠DBE＝60°，即△CBE是等边三角形，故F合＝100N．]整体法与隔离法在平衡中的应用在实际问题中，常常会碰到几个连接在一起的物体在外力作用下运动，需要求解它们所受的外力或它们之间的相互作用力，这类问题被称为连接体问题．与求解单一物体的力学问题相比较，连接体问题要复杂得多．有相同加速度的连接体问题是比较简单的，目前我们只限于讨论这类问题．连接体问题常见的求解方法有两个，即整体法和隔离法．1．整体法：以几个物体构成的系统为研究对象进行求解的方法．在许多问题中用整体法比较方便，但整体法不能求解系统的内力．2．隔离法：把系统分成若干部分并隔离开来，分别以每一部分为研究对象进行受力分析，分别列出方程，再联立求解的方法．3．选用原则：通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体之间的相互作用时，用隔离法．有时在解答同一个问题时要多次选取研究对象，需要整体法与隔离法交替使用．【例2】在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．现对B加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F1，A对B的作用力为F2，地面对A的作用力为F3.若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中()A．F1保持不变，F3缓慢增大B．F1缓慢增大，F3保持不变C．F2缓慢增大，F3缓慢增大D．F2缓慢增大，F3保持不变C[A、B始终保持静止，对B进行受力分析，如图甲所示，设A、B圆心连线与竖直方向夹角为α，由F2sinα＝F1，F2cosα＝F＋GB可得，当F增大时，F2增大，F1也增大．甲乙将A、B看成整体，进行受力分析如图乙所示，设地面对A的支持力为N，对A的摩擦力为f，则由整体平衡得GA＋GB＋F＝N，且f＝F1，由此可知，当F增大时，N、f均增大，N与f的合力F3也增大．所以只有选项C正确，A、B、D均错误．][一语通关]整体法和隔离法有时要交叉使用，但必须使用力的相互作用原理才能从整体法过渡到隔离法．2．如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为()A．3∶4B．4∶3C．1∶2D．2∶1D[以两球和弹簧B为整体作为研究对象，整体受重力G、轻弹簧A的弹力FA和轻弹簧C的弹力FC三个力的作用．如图所示，根据平衡条件可知，水平方向上有FAsin30°＝FC，在竖直方向有FAcos30°＝G，又根据胡克定律可知FA＝kxA，FC＝kxC联立解得xAxC＝21，选项D正确．]平衡中的动态分析问题该类问题具有一定的综合性和求解的灵活性，分析处理物体动态平衡常用的方法有：矢量图解法、函数法、整体与隔离法、相似三角形法等．一般来说，对于静力学动态问题，优先采用“矢量图解法”，将某一力据其作用效果分解，构建示意图，将各力之间的依赖、制约关系直观形象地体现出来，达到简捷迅速的判断目的．【例3】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力N以及绳对小球的拉力T的变化情况是()A．N保持不变，T不断增大B．N不断增大，T不断减小C．N保持不变，T先增大后减小D．N不断增大，T先减小后增大D[推动斜面体时，小球始终处于平衡状态，根据共点力的平衡条件解决问题．选小球为研究对象，其受力情况如图所示，用平行四边形定则作出相应的“力三角形OAB”，其中OA的大小、方向均不变，AB的方向不变，推动斜面体时，T逐渐趋于水平，OB绕O点向下转动，根据动态平衡，T先减小后增大，N不断增大，选项D正确．][一语通关](1)解析法是对研究对象的任一状态进行了受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数式，然后依据自变量的变化确定因变量的变化．(2)解决动态平衡问题的常用方法是“矢量图解法”，利用矢量图解法分析动态平衡问题的基本程序是：对研究对象在动态变化过程中的若干状态进行受力分析→依据某一参量的变化(一般为某一角度)，在同一图中作出物体在若干状态下的受力平衡图(力的平行四边形或力的三角形)→由动态的力的平行四边形或三角形的边的长度及方向变化，判断某力的大小及方向的变化情况．3．如图所示，用与竖直方向成θ角(θ＜45°)的倾斜轻绳a和水平轻绳b共同固定一个小球，这时轻绳b的拉力为F1，现保持小球在原位置不动，使轻绳b在原竖直平面内逆时针转过θ角固定，轻绳b的拉力为F2，再逆时针转过θ角固定，轻绳b的拉力为F3，则()A．F1＝F3＞F2B．F1＜F2＜F3C．F1＝F3＜F2D．轻绳a的拉力增大A[轻绳b处在三个不同位置时，小球均处于平衡状态；对小球受力分析并根据平衡条件可知，它受到的三个力可以构成矢量三角形，如图所示，根据几何关系可知，F2垂直于轻绳a对小球的拉力T，所以F1＝F3＞F2，而轻绳a的拉力T逐渐减小，故A选项正确．]平衡状态下的临界与极值问题1．临界问题：当某物理量发生变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”．处理这类问题的最有效方法是假设推理法，也就是先假设，再根据平衡条件及有关知识列平衡方程，最后求解．2．极值问题：也就是指平衡问题中，力在变化过程中的最大值和最小值问题．3．解决这类问题常用以下两种方法：(1)解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值．(2)图解法：根据物体的平衡条件作出物体的受力分析图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值．【例4】如图所示，物体的质量为2kg，两根轻细绳AB和AC一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平成θ＝60°的拉力，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围．[解析]方法一：极限分析方法(1)假设AC绳刚好伸直且FAC＝0，则Fsinθ＝12mg⇒F＝mg2sinθ＝33mg若力F小于上述值，则AC绳弯曲，所以F≥33mg.(2)假设AB绳刚好伸直且FAB＝0，则Fsinθ＝mg⇒F＝mgsinθ＝233mg若力F大于上述值，则AB绳弯曲，所以F≤233mg因此力F的范围是：33mg≤F≤233mg.方法二：数学解法作出A受力图如图所示，由平衡条件有：Fcosθ－F2－F1cosθ＝0Fsinθ＋F1sinθ－mg＝0要使两绳都能绷直，则有F1≥0，F2≥0由以上各式可解得F的取值范围为：33mg≤F≤233mg.[答案]33mg≤F≤233mg[一语通关]处理临界与极值问题的关键是正确分析物体所处临界状态的受力情况，准确找出临界条件，结合平衡条件列方程求极值．4.如图所示，物体甲的质量为m1，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与放置在水平面上的质量为m2的物体乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲、乙均处于静止状态．已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求：(1)轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？(2)物体乙受到的摩擦力是多大？方向如何？(3)若物体乙的质量m2＝4kg，物体乙与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，欲使物体乙在水平面上不滑动，物体甲的质量m1最大不能超过多少？[解析]按力的作用效果进行分解，如图所示．(1)TOA＝m1gcosθ＝54m1gTOB＝m1gtanθ＝34m1g.(2)f＝TOB＝34m1g，方向水平向左．(3)fmax＝μm2g＝0.3×4×10N＝12N当TOB＝34m1g＝fmax＝12N时，m1＝1.6kg，即物体甲的质量m1最大不能超过1.6kg.[答案](1)54m1g34m1g(2)34m1g方向水平向左(3)1.6kg