2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题四 平面解析几何初步 第19讲 直线与圆、圆与

专题四平面解析几何初步第19讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．_______⇔相交；_______⇔相切；_______⇔相离．(2)代数法：判别式Δ＝b2－4ac0⇔；＝0⇔；0⇔.答案：(1)drd＝rdr(2)相交相切相离2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20).位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离____________________外切______________________相交______________________内切________(r1≠r2)______________内含________(r1≠r2)______________答案：dr1＋r2无解d＝r1＋r2一组实数解|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解d＝|r1－r2|一组实数解0≤d|r1－r2|无解3.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.4．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．1．直线与圆的位置关系(1)已知点M(a，b)在圆O∶x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是________．(3)已知方程x2＋xtanθ－1sinθ＝0有两个不等实根a和b，那么过点A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．解析：(1)因为M(a，b)在圆O∶x2＋y2＝1外，所以a2＋b21，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b21.所以直线与圆相交．(2)把圆的方程化为标准方程得x＋k22＋(y＋1)2＝16－3k24，所以16－3k240，解得－833k833.由题意知点(1，2)应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得1＋4＋k＋4＋k2－150，即(k－2)(k＋3)0，解得k2或k－3，则实数k的取值范围是－833，－3∪2，833.(3)由题意可知过A，B两点的直线方程为(a＋b)x－y－ab＝0，圆心到直线AB的距离为d＝|－ab|（a＋b）2＋1，而a＋b＝－1tanθ，ab＝－1sinθ，因此d＝1sinθ－1tanθ2＋1，化简后得d＝1，故直线与圆相切．答案：(1)B(2)－833，－3∪2，833(3)相切剖析：判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．2．圆与圆的位置关系(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．外离(2)过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为___________．(3)如果圆C∶x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O∶x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是解析：(1)两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.因为3－2d3＋2，所以两圆相交．(2)由x2＋y2＋4x＋y＝－1，①x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，②①－②得2x－y＝0，代入①得x＝－15或x＝－1，所以两圆两个交点为－15，－25，(－1，－2)．过两交点的圆中，以－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆面积最小．所以该圆圆心为－35，－65，半径为－15＋12＋－25＋222＝255，圆的方程为x＋352＋y＋652＝45.(3)圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得：0a2＋a22＋2，所以0|a|22.所以a∈(－22，0)∪(0，22)．答案：(1)B(2)x＋352＋y＋652＝45(3)(－22，0)∪(0，22)剖析：圆与圆的位置关系．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．3．直线与圆的综合问题在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋4与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且OA→·OB→＝0，则k＝()A．－2或2B．－3或3C．－5或5D．－7或7解析：因为OA→·OB→＝0，可得OA⊥OB，△OAB为直角三角形，所以圆心到直线的距离为d＝41＋k2＝2，所以k＝±7.答案：D已知圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0和圆外一点M(4，－8)．(1)过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|＝4，求直线AB的方程；(2)过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．解：(1)圆即(x－2)2＋(y＋1)2＝8，圆心为P(2，－1)，半径r＝22.①若割线斜率存在，设AB：y＋8＝k(x－4)，即kx－y－4k－8＝0，设AB的中点为N，则|PN|＝|2k＋1－4k－8|k2＋1＝|2k＋7|k2＋1，由|PN|2＋|AB|22＝r2，得k＝－4528，所以直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0.②若割线斜率不存在，直线AB的方程为x＝4，代入圆方程得y2＋2y－3＝0，y1＝1，y2＝－3符合题意，综上，直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0或x＝4.(2)切线长为|PM|2－r2＝4＋49－8＝35.以PM为直径的圆的方程为(x－2)(x－4)＋(y＋1)(y＋8)＝0，即x2＋y2－6x＋9y＋16＝0.又已知圆的方程为x2＋y2－4x＋2y－3＝0，两式相减，得2x－7y－19＝0，所以直线CD的方程为2x－7y－19＝0.直线l：x＋3y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x＋1＝0交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则m＝________．解析：圆C：x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3，圆C的圆心为C(2，0)，半径为3，因为直线l：x＋3y＋m＝0与圆(x－2)2＋y2＝3交于A，B两点且△ABC为等边三角形，所以|AB|＝3，故圆心到直线的距离为d＝3－322＝32，即|2＋m|1＋3＝32，解得m＝1或m＝－5.答案：1或－51．已知圆C：x2＋y2＋2x－3＝0，直线l：x＋2＋a(y－1)＝0(a∈R)，则()A．l与C相离B．l与C相交C．l与C相切D．以上三个选项答案：B2．已知圆C：x2＋y2－4x＝0与直线l切于点P(1，3)，则直线l的方程为()A．x－3y＋2＝0B．x－3y＋4＝0C．x＋3y－4＝0D．x＋3y－2＝0答案：A3．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－m)2＋(y－m－6)2＝2与圆C2：(x＋1)2＋(y－2)2＝1交于A，B两点，若|OA|＝|OB|，则实数m的值为()A．1B．2C．－1D．－2答案：D4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为()A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0D．x＋y－3＝0答案：A5．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|(其中O为坐标原点)，则实数a等于()A．2B．－2C．2或－2D.6或－6答案：C6．过点(0，1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为________．解析：当过点(0，1)，(0，0)的直线与弦AB垂直时，|AB|有最小值，最小值为23.答案：237．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．解析：将(x－1)2＋(y－3)2＝10化为x2＋y2－2x－6y＝0，与另一圆x2＋y2＝10相减得2x＋6y－10＝0，化简为：x＋3y－5＝0，即直线AB的方程是x＋3y－5＝0.答案：x＋3y－5＝08．过圆x2＋(y－2)2＝4外一点A(3，－2)，引圆的两条切线，切点为T1，T2，则直线T1T2的方程为________．解析：根据题意，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径r＝2，设该圆的圆心为C(0，2)，又由A(3，－2)，|AC|＝32＋42＝5，则|AT1|＝|AT2|＝|AC|2－r2＝21，则T1、T2在以A为圆心，|AT1|＝|AT2|＝21为半径的圆上，该圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝21，则直线T1T2的是圆C与圆A的公共弦，则两圆方程对应相减可得：3x－4y＋4＝0.即直线T1T2的方程为3x－4y＋4＝0.答案：3x－4y＋4＝09．已知圆C的圆心坐标为(3，1)，且圆C被直线y＝x截得的弦长为27.(1)求圆C的标准方程；(2)求过点P(6，6)的圆C的切线方程．解：(1)由题可设圆C半径为r，又圆心C(3，1)到直线x－y＝0的距离d＝|3－1|12＋（－1）2＝2，依题意有27＝2r2－（2）2，解得r2＝9，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)由(1)知圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9当切线的的斜率不存在时，切线的方程为x＝6满足题意．当切线的斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为y－6＝k(x－6)，即kx－y－6k＋6＝0，又直线和圆相切，所以有|3k－1－6k＋6|k2＋1＝3，解得k＝815，所以切线方程为8x－15y＋42＝0.综上所述，所求切线方程为8x－15y＋42＝0或x＝6.10．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l的方程可化为y＝mm2＋1x－4mm2＋1，直线l的斜率k＝mm2＋1，因为|m|≤12(m2＋1)，所以|k|＝|m|m2＋1≤12，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以斜率k的取值范围是－12，12.(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤12.圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝21＋k2.由|k|≤12，得d≥45＞1，即d＞r2.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于2π3.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为12的两段弧．