2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题四 平面解析几何初步 第17讲 曲线与方程课件

专题四平面解析几何初步第17讲曲线与方程1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是__________________．(2)以这个方程的解为坐标的点都是_________．那么，这个方程叫做______，这条曲线叫做__________．答案：(1)这个方程的解(2)曲线上的点曲线的方程方程的曲线2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．1．定义法求轨迹方程已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解：如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，得O1(－2，0)，O2(2，0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.所以|MO2|－|MO1|＝3.所以点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．所以a＝32，c＝2，所以b2＝c2－a2＝74.所以点M的轨迹方程为4x29－4y27＝1x≤－32.剖析：应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．2．直接法求轨迹方程(1)已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若MN→2＝λAN→·NB→，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是()A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线(2)如图所示，A(m，3m)和B(n，－3n)两点分别在射线OS，OT(点S、T分别在第一、四象限)上移动，且OA→·OB→＝－12，O为坐标原点，动点P满足OP→＝OA→＋OB→.①求mn的值；②求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？(1)解析：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0)．因为MN→2＝λAN→·NB→，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．答案：C(2)解：①因为OA→·OB→＝(m，3m)·(n，－3n)＝－2mn＝－12，所以mn＝14.②设P(x，y)(x0)，由OP→＝OA→＋OB→，得(x，y)＝(m，3m)＋(n，－3n)＝(m＋n，3m－3n)．所以x＝m＋n，y＝3m－3n，整理得x2－y23＝4mn，又mn＝14，所以P点的轨迹方程为x2－y23＝1(x0)．它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－y23＝1的右支．剖析：直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略：(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．3．相关点法求轨迹方程设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，因为PM→⊥PF→，PM→＝(x0，－y0)，PF→＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y20＝0.由MN→＝2MP→得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以x－x0＝－2x0，y＝2y0，即x0＝－x，y0＝12y.所以－x＋y24＝0，即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.剖析：“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1＝f（x，y），y1＝g（x，y）；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．1．方程x－2＝1－（y－1）2表示的曲线是()A．一个圆B．两个半圆C．半圆D．两个圆答案：C2．方程x2－xy＋2y＋1＝0表示的曲线经过点A(1，－2)，B(2，－3)，C(3，10)，D0，－12中的()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()答案：B4．与圆(x－2)2＋y2＝1外切，且与y轴相切的动圆圆心P的轨迹方程为()A．y2＝6x－3B．y2＝2x－3C．x2＝6y－3D．x2－4x－2y＋3＝0答案：A5．一条线段的长等于10，两端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上且AM→＝4MB→，则点M的轨迹方程是()A．x2＋16y2＝64B．16x2＋y2＝64C．x2＋16y2＝8D．16x2＋y2＝8答案：B6．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，所以3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.所以P的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆．即轨迹所包围的图形的面积等于4π.答案：4π7．一动点到y轴距离比到点(2，0)的距离小2，则此动点的轨迹方程为________________．解析：设动点为P(x，y)，则由条件得（x－2）2＋y2＝|x|＋2，平方得y2＝4x＋4|x|，当x≥0时，y2＝8x；当x＜0时，y＝0，所以动点的轨迹方程为y2＝8x(x≥0)或y＝0(x＜0)．答案：y2＝8x(x≥0)或y＝0(x＜0)8．已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P满足PM→·PN→＝12，则点P的轨迹方程为________________．解析：设P(x，y)，则PM→＝(－2－x，－y)，PN→＝(2－x，－y)，所以PM→·PN→＝(－2－x)(2－x)＋(－y)2＝x2－4＋y2＝12，即x2＋y2＝16.答案：x2＋y2＝169．如图，点A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM，BM的斜率之积是23，求点M的轨迹C的方程．解：设点M的坐标为(x，y)，所以直线AM的斜率为yx＋5(x≠－5)，直线BM的斜率为yx－5(x≠5)．由已知有yx＋5×yx－5＝23(x≠±5)，化简得点M的轨迹C方程为2x2－3y2＝10(x≠±5)．10．已知△ABC的内切圆与三边AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，已知B(－2，0)，C(2，0)，内切圆圆心为I(1，t)(t≠0)，设点A的轨迹为L.(1)求L的方程；(2)设直线y＝2x＋m交曲线L于不同的两点M，N，当|MN|＝25时，求m的值．解：(1)设点A(x，y)，由题意得|AB|－|AC|＝|BD|－|CF|＝|BE|－|CE|＝(1＋2)－(2－1)＝2.根据双曲线定义知点A的轨迹是以B，C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去点E)，所以L的方程为x2－y2＝1，x1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x2－y2＝1，y＝2x＋m，得3x2＋4mx＋m2＋1＝0.因为直线y＝2x＋m交x2－y2＝1(x1)于不同的两点M，N，所以方程3x2＋4mx＋m2＋1＝0的两根均在(1，＋∞)内，所以Δ＝16m2－3×4×（m2＋1）0，－4m2×31，3×12＋4m×1＋m2＋10，所以m－3，且m≠－2.又x1＋x2＝－4m3，x1x2＝m2＋13，所以|MN|＝1＋22·（x1＋x2）2－4x1x2＝5·4m2－129＝253·m2－3，因为|MN|＝25，所以253·m2－3＝25，所以m2＝12，因为m－3，且m≠－2，所以m＝－23.