2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题四 平面解析几何初步 第16讲 两条直线的位置

专题四平面解析几何初步第16讲两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直．①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔________．(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔________．(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.(2)两条直线的交点．直线l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0，的解．答案：(1)k1＝k2k1·k2＝－12．几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.(2)点P0(x0，y0)到直线l∶Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.3．直线(1)一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.(2)过直线l1∶A1x＋B1y＋C1＝0与l2∶A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.(3)点到直线与两平行线间的距离的使用条件：①求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．②求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．两条直线的平行与垂直已知两直线l1∶x＋ysinα－1＝0和l2∶2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.解：(1)法一：当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sinα≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sinα.要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±22.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.法二：由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，所以sinα＝±22.所以α＝kπ±π4，k∈Z.又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.剖析：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．2．两条直线的交点与距离问题(1)如图，设一直线过点(－1，1)，它被两平行直线l1∶x＋2y－1＝0，l2∶x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3∶x－y－1＝0上，求其方程．(2)正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：(1)与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1，1)，所以(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－13.所以所求直线方程为2x＋7y－5＝0.(2)点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝|－3＋n|1＋9＝3105，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.综上所述，其他三边所在的直线方程为x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0，3x－y＋9＝0.剖析：(1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为对应相等．3．对称问题直角坐标系xOy中，已知点P(2－t，2t－2)，点Q(－2，1)，直线l：ax＋by＝0.若对任意的t∈R，点P到直线l的距离为定值，则点Q关于直线l对称点Q′的坐标为()A．(0，2)B．(2，3)C.25，115D.25，3解析：设点P(x，y)，所以x＝2－t，y＝2t－2，所以2x＋y－2＝0，所以点P的轨迹方程为2x＋y－2＝0.对任意的t∈R，点P到直线l的距离为定值，所以直线l的方程为2x＋y＝0.设点Q关于直线l对称点O′的坐标为(x0，y0)，所以y0－1x0＋2·（－2）＝－1，2·x0－22＋y0＋12＝0，所以x0＝25，y0＝115.答案：C剖析：解决对称问题的方法：(1)中心对称．①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足x′＝2a－x，y′＝2b－y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称．①点M(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点M′(m，n)，则有n－bm－a·－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．1．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C2．若点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为()A.79B.13C.79或13D．－79或－13解析：由题意知点A和点B到直线l的距离相等得到|6a＋3＋1|a2＋1＝|－3a－4＋1|a2＋1，化简得6a＋4＝－3a－3或6a＋4＝3a＋3，解得a＝－13或a＝－79.答案：D3．当0＜k＜12时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：解方程组kx－y＝k－1，ky－x＝2k得两直线的交点坐标为kk－1，2k－1k－1，因为0＜k＜12，所以kk－1＜0，2k－1k－1＞0，故交点在第二象限．答案：B4．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为()A．(0，0)B．(0，1)C．(3，1)D．(2，1)答案：C5．与直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－1＝0C．2x＋y－1＝0D．x－2y＋1＝0答案：A6．过点(－1，2)且和直线3x＋2y－7＝0垂直的直线方程是____________．解析：设与直线3x＋2y－7＝0垂直的直线方程是2x－3y＋m＝0，将点(－1，2)带入直线得m＝8，故方程为：2x－3y＋8＝0.答案：2x－3y＋8＝07．若点(1，1)到直线xcosα＋ysinα＝2的距离为d，则d的最大值为________．解析：依题意有d＝|cosα＋sinα－2|＝2sinα＋π4－2，于是当sinα＋π4＝－1时，d取得最大值2＋2.答案：2＋28．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)，在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小，则P点坐标是________．解析：设点A(2，0)关于直线x－2y＋8＝0对称的点坐标为A′(a，b)，则a＋22－b＋8＝0，ba－2＝－2，⇒a＝－2，b＝8.即A′(－2，8)，结合图形可知|PA|＋|PB|≥|A′B|，即三点A′，P，B共线时，|PA|＋|PB|最小，此时kA′B不存在，即点P的横坐标x＝－2，代入直线x－2y＋8＝0可得交点P(－2，3)．答案：(－2，3)9．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．解：依题意知kAC＝－2，A(5，1)，所以lAC的方程为2x＋y－11＝0，联立lAC、lCM得2x＋y－11＝0，2x－y－5＝0，所以C(4，3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为x0＋52，y0＋12，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以2x0－y0－1＝0，x0－2y0－5＝0，所以B(－1，－3)，所以kBC＝65，所以直线BC的方程为y－3＝65(x－4)，即6x－5y－9＝0.10．已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.(1)求直线l1与l2的交点P的坐标；(2)求过l1，l2交点P，且在两坐标轴截距相等的直线方程；(3)若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，求实数a的值．解：(1)由x－2y＋4＝0，4x＋3y＋5＝0，解得x＝－2，y＝1.所以点P的坐标为(－2，1)．(2)设所求直线为l，(ⅰ)当直线l在两坐标轴截距为不零时，设直线方程为：xt＋yt＝1，则－2t＋1t＝1，解得t＝－1，所以直线l的方程为x－1＋y－1＝1，即x＋y＋1＝0.(ⅱ)当直线l在两坐标轴截距为零时，设直线方程为：y＝kx.则1＝k×(－2)，解得k＝－12，所以直线l的方程为y＝－12x，即x＋2y＝0.综上，直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋2y＝0.(3)(ⅰ)当l3与l1平行时不能构成三角形，此时：a×(－2)－2×1＝0，解得a＝－1；(ⅱ)当l3与l2平行时不能构成三角形，此时：a×3－2×4＝0，解得a＝83；(ⅲ)当l3过l1，l2的交点时不能构成三角形，此时：a·(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综上，当a＝－1或83或－2时，不能构成三角形．