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专题四平面解析几何初步第15讲直线与方程1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角．①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按____________方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．②倾斜角α的范围为________．(2)直线的斜率．①定义：一条直线的倾斜角α的________叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝_______，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________．答案：(1)逆时针0°0°≤α＜180°(2)正切值tanαy2－y1x2－x12．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式________________不含直线x＝x0斜截式________________不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0________平面直角坐标系内的直线都适用答案：y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b(A2＋B2≠0)3.线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝，y＝Ｗ.此公式为线段P1P2的中点坐标公式．答案：x1＋x22y1＋y221．直线的倾斜角与斜率(1)直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()A.130°，90°∪90°，150°B.0°，30°∪150°，180°C.0°，150°D.30°，150°(2)已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则yx的最大值为________；最小值为________．解析：(1)由xcosα＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－33cosα.因为－1≤cosα≤1，所以－33≤k≤33.设直线的倾斜角为θ，则－33≤tanθ≤33.结合正切函数在0°，90°∪90°，180°上的图象可知，0°≤θ≤30°或150°≤θ180°.(2)本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把yx看成过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求解．如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是(2，4)，(3，2)．因为yx的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝23，所以yx的最大值为2，最小值为23.答案：(1)B(2)223剖析：直线倾斜角的范围是[0°，180°)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0°，90°与90°，180°两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈0°，90°时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝90°时，斜率不存在；当α∈90°，180°时，斜率k∈(－∞，0)．2．求直线的方程求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍注：tan2α＝2tanα1－tan2α.解：(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a＝0，即l过点(0，0)及(4，1)，所以l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，因为l过点(4，1)，所以4a＋1a＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tanα＝3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.剖析：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．3．直线方程的综合应用(1)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．解析：(1)因为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，所以A(0，0)，B(1，3)．当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，所以△APB为直角三角形，所以|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝102＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．(2)因为|x－a|≥0恒成立，所以要使y＝2a与y＝|x－a|－1只有一个交点，必有2a＝－1，解得a＝－12.答案：(1)5(2)－12剖析：与直线方程的有关的问题的常见类型及解题策略：(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．1．直线3x＋3y－3＝0的倾斜角为()A．－30°B．30°C．120°D．150°答案：D2．已知A(1，4)，B(－3，2)，直线l：ax＋y＋2＝0，若直线l过线段AB的中点，则a＝()A．－5B．5C．－4D．4答案：B3．如图所示，在同一直角坐标系中能正确表示直线y＝ax与y＝x＋a的是()答案：C4．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是()A．(5，8)B．(8，＋∞)C.132，8D.5，132答案：D5．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段P，Q的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．－32D.23答案：B6．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为________．解析：设所求直线方程为xa＋yb＝1，由已知可得－2a＋2b＝1，12|a||b|＝1，解得a＝－1，b＝－2，或a＝2，b＝1.所以2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0为所求．答案：2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝07．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1，1)与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是________．解析：因为kAP＝3－12－1＝2，kBP＝－2－1－3－1＝34，如图：因为直线l与线段AB始终没有交点，所以斜率k的取值范围是34，2.答案：34，28．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为________．解析：设BC边上的高为AD，因为BC⊥AD，所以kBC·kAD＝－1，即2＋30－3·kAD＝－1，解得kAD＝35，所以BC边上的高所在直线的点斜式方程是y－0＝35(x＋5)，整理可得斜截式方程为y＝35x＋3.答案：y＝35x＋39．已知直线l过点P(2，3)，根据下列条件分别求直线l的方程：(1)直线l的倾斜角等于23π；(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.解：(1)设直线l的斜率为k，由题意得k＝tan23π＝－3.又直线l过点P(2，3)，由直线的点斜式方程可得l：y－3＝－3(x－2)，即直线l的方程为3x＋y－(3＋23)＝0.(2)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，由题意得a＋b＝0，即b＝－a.①若b＝－a＝0时，则直线l过点(0，0)，P(2，3)，可得直线l的方程为：3x－2y＝0.②若b＝－a≠0时，则直线l的方程为：xa＋y－a＝1.将P(2，3)代入得：2a＋3－a＝1，即a＝－1.则直线l的方程为：x－y＋1＝0.所以直线l的方程为：3x－2y＝0或x－y＋1＝0.10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，截距相等，所以a＝2，方程即3x＋y＝0.若a≠2，由于截距存在，所以a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1，所以a＝0，方程即x＋y＋2＝0.综上可知，所求的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以欲使l不经过第二象限，当且仅当－（a＋1）≥0，a－2≤0.所以a≤－1.综上可知，a的取值范围是a≤－1.