2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题十一 数列 第37讲 数列的概念与简单表示法课

专题十一数列第37讲数列的概念与简单表示法1．数列的定义按照______________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．答案：一定顺序项2．数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数____按项数分类无穷数列项数____递增数列an＋1____an按项与项间的大小关系分类递减数列an＋1____an常数列an＋1＝an其中n∈N*有界数列存在正数M，使|an|≤M按其他标准分类摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列答案：有限无限3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是________、________和________．答案：列表法图象法解析法4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．答案：序号n5．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝（n＝1），（n≥2）.答案：S1Sn－Sn－11．由数列的前几项求数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解：(1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)数列变为891－110，891－1102，891－1103，…，故an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4，5，6项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故an＝(－1)n·2n－32n.剖析：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．2．由数列的前n项和求数列的通项公式(1)已知数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an12，2an－1，12≤an＜1，若a1＝67，则a8的值为()A.67B.37C.57D.17(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．解析：(1)因为an＋1＝2an，0≤an＜12，2an－1，12≤an＜1，所以a1＝67时，a2＝2a1－1＝57，a3＝2a2－1＝37，a4＝2a3＝67，由此可以看出，{an}是周期数列，周期为3，所以a8＝57，故选C.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5，n≥2.答案：(1)C(2)an＝2，n＝1，6n－5，n≥2.剖析：数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．3．由数列的递推关系求通项公式(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝n－1n·an－1(n≥2)，则an＝________．(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于()A．－16B．16C．31D．32解析：(1)因为an＝n－1nan－1(n≥2)，所以an－1＝n－2n－1·an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得，an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时也满足此等式，所以an＝1n.(2)当n＝1时，S1＝2a1－1，所以a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，所以an＝2an－2an－1，所以an＝2an－1.所以{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.答案：(1)1n(2)B剖析：已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．4．数列的性质(1)数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an12，2an－1，12≤an＜1，a1＝35，则数列的第2015项为________．(2)设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.163B.133C．4D．0解析：(1)由已知可得，a2＝2×35－1＝15，a3＝2×15＝25，a4＝2×25＝45，a5＝2×45－1＝35，所以{an}为周期数列且T＝4，所以a2015＝a3＝25.(2)由题意可知an＝－3n－522＋34，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.答案：(1)25(2)D剖析：(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法：①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列．②用作商比较法，根据an＋1an(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2)解决数列周期性问题的方法．先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．1．数列1，3，7，15…的一个通项公式是()A．an＝2nB．an＝2n＋1C．an＝2n＋1D．an＝2n－1答案：D2．已知数列{an}满足递推关系：an＋1＝anan＋1，a1＝12，则a2018＝()A.12016B.12017C.12018D.12019答案：D3．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋3，那么这个数列的前3项依次为()A．－1，1，3B．2，1，0C．2，1，3D．2，1，6答案：C4．数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a6＝()A．32B．62C．63D．64答案：C5．数列{an}中，已知a1＝2，且an＋1＝an＋2n＋1，则a10＝()A．19B．21C．99D．101答案：D6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝4，n＝1，2n＋1，n≥2.答案：4，n＝1，2n＋1，n≥2.7．若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋1，则a6＝________．解析：当n≥2，Sn－1＝2an－1＋1，两式作差得an＝2an－1，故{an}为等比数列，又a1＝－1，所以a6＝－1×25＝－32.答案：－328．如图所示的数阵中，第64行第2个数字是________．11212131413141717141511111411115解析：由题意，从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列{an}，其中2，4，7，11，…，则满足an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，则an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋n＝2＋（n－1）（n＋2）2＝n2＋n＋22.当n＝63时，则a63＝632＋63＋22＝2017，所以第64行的第2个数字为12017.答案：120179．若an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，且a1＝1.(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.解：(1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，当n＝2时，得a2＝2×1＋1＝3，当n＝3时，得a3＝2×3＋1＝7，当n＝4时，得a4＝2×7＋1＝15，当n＝5时，得a5＝2×15＋1＝31，因此a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.(2)因为a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，所以归纳猜想，得an＝2n－1(n∈N*)．10．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解：(1)由S2＝43a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝53a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得an＝n＋1n－1an－1.于是a1＝1，a2＝31a1，a3＝42a2，…an－1＝nn－2an－2，an＝n＋1n－1an－1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝n（n＋1）2.显然，当n＝1时也满足上式．综上可知，{an}的通项公式为an＝n（n＋1）2.