2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题十二 不等式 第44讲 基本不等式及其应用课件

专题十二不等式第44讲基本不等式及其应用1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：________．(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．答案：(1)a0，b0(2)a＝b2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥________(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.答案：(1)2ab(2)23．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为_____________________________________________________________.答案：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值2p(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值p24(简记：和定积最大)．答案：(1)x＝y小(2)x＝y大1．利用基本不等式求最值(1)已知a0，b0，4a＋b＝2，则1a＋1b的最小值是()A．4B.92C．5D．9(2)若a＞0，b＞0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.1ab≤14B.1a＋1b≤1C.ab≥2D．a2＋b2≥8解析：(1)因为1a＋1b(4a＋b)＝4＋ba＋4ab＋1≥5＋2ba·4ab＝9，又4a＋b＝2，所以1a＋1b≥92，当且仅当a＝13，b＝23时取“＝”，故选B.(2)因为a＞0，b＞0，a＋b＝4，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab，根据基本不等式有4＝a＋b≥2ab，所以ab≤4，－2ab≥－8，所以16－2ab≥8，即a2＋b2≥8.答案：(1)B(2)D2．基本不等式与学科知识的综合(1)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.94D.256(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．解析：(1)由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)．因为aman＝4a1，所以qm＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6.所以1m＋4n＝16(m＋n)·1m＋4n＝165＋nm＋4mn≥16·5＋2nm·4mn＝32.当且仅当nm＝4mn时，等号成立，故1m＋4n的最小值为32.(2)对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即知a≥－x＋8x＋3.设g(x)＝x＋8x，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝173.因为g(2)g(3)，所以g(x)min＝173.所以－x＋8x＋3≤－83.所以a≥－83，即a的取值范围是－83，＋∞.答案：(1)A(2)－83，＋∞剖析：(1)应用基本不等式求代数式的最值问题：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．3．不等式的实际应用某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)当0x80时，L(x)＝1000x×0.05－13x2＋10x－250＝－13x2＋40x－250；当x≥80时，L(x)＝1000x×0.05－51x＋10000x－1450－250＝1200－x＋10000x.所以L(x)＝－13x2＋40x－250，（0x80），1200－x＋10000x，（x≥80）.(2)当0x80时，L(x)＝－13x2＋40x－250.对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)max＝950(万元)；当x≥80时，L(x)＝1200－x＋10000x≤1200－210000＝1000(万元)，当且仅当x＝100时，L(x)max＝1000万元，综上所述，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．剖析：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．1．下列不等式一定成立的是()A．lgx2＋14lgx(x0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋11(x∈R)答案：C2．已知正实数x，y满足x＋2y＝1，则1x＋2y的最小值是()A．6B．8C．9D．16答案：C3．已知向量m＝(a，－1)，n＝(2b－1，3)(a0，b0)，若m∥n，则2a＋1b的最小值为()A．12B．8＋43C．15D．10＋23答案：B4．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是()A．10B．63C．46D．183答案：D5．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为()A．8B．4C．2D．0答案：A6．函数y＝x＋1x－1＋5(x1)的最小值为()A．6B．7C．8D．9答案：C7．若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则4x＋y的最大值为()A.25B.49C.12D.47答案：B8．正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A．[3，＋∞)B．(－∞，3]C．(－∞，6]D．[6，＋∞)答案：D9．已知x＜0，则函数y＝x2＋x＋1x的最大值是___．解析：根据题意，由于x＜0，则函数y＝x2＋x＋1x＝x＋1x＋1＝－－x－1x＋1≤－2（－x）×－1x＋1＝－1，当x＝－1时取得等号，故可知函数的最大值为－1.答案：－110．若lga＋lgb＝0，则2a＋1b的最小值是________．解析：因为lga＋lgb＝lgab＝0，所以ab＝1，且a0，b0，则2a＋1b≥22ab＝22，当且仅当2a＝1b且ab＝1时，取到“＝”．所以2a＋1b的最小值为22.答案：2211．已知x0，y0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．解：(1)因为x0，y0，所以由基本不等式，得2x＋5y≥210xy.因为2x＋5y＝20，所以210xy≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有2x＋5y＝20，2x＝5y，解得x＝5，y＝2，此时xy有最大值10.所以u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.所以当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值，最大值为1.(2)因为x0，y0，所以1x＋1y＝1x＋1y·2x＋5y20＝1207＋5yx＋2xy≥120(7＋25yx·2xy)＝7＋21020，当且仅当5yx＝2xy时，等号成立．由2x＋5y＝20，5yx＝2xy，解得x＝1010－203，y＝20－4103.所以1x＋1y的最小值为7＋21020.