2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题十二 不等式 第42讲 一元二次不等式及其解法

专题十二不等式第42讲一元二次不等式及其解法1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集________________________ax2＋bx＋c0(a0)的解集________________________答案：{x|xx1或xx2}x|x≠－b2a{x|x∈R}{x|x1xx2}∅∅2.常用结论(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法：解集不等式aba＝bab(x－a)·(x－b)0{x|xa或xb}________________(x－a)·(x－b)0____________{x|bxa}口诀：大于取两边，小于取中间．答案：{x|x≠a}{x|xb或xa}{x|axb}∅1．一元二次不等式的求解求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．解：因为12x2－ax＞a2，所以12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，得x1＝－a4，x2＝a3.(1)当a＞0时，－a4＜a3，解集为x|x＜－a4或x＞a3；(2)当a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；(3)当a＜0时，－a4＞a3，解集为x|x＜a3或x＞－a4.综上所述，当a＞0时，原不等式的解集为x|x＜－a4或x＞a3；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＜0时，原不等式的解集为x|x＜a3或x＞－a4.剖析：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是不是正数，然后考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是不是零，确定不等式是不是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．2．一元二次不等式恒成立问题(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．[－1，4]B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D．[－2，5](2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_____．解析：(1)因为x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.(2)作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0，则有f（m）0，f（m＋1）0，即m2＋m2－10，（m＋1）2＋m（m＋1）－10，解得－22m0.答案：(1)A(2)－22，0剖析：(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．3．一元二次不等式的应用某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)y＝[(1＋0.75x)×12－(1＋x)×10]×(1＋0.6x)×10000＝－6000x2＋2000x＋20000，即y＝－6000x2＋2000x＋20000(0x1)．(2)上年利润为(12－10)×10000＝20000.由题意知，y－200000，即－6000x2＋2000x0，所以0x13，即x的范围为0，13.所以投入成本增加的比例x的范围为0，13.剖析：求解不等式应用题的四个步骤：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．1．不等式x2－x－2＞0的解集为()A．{x|x＞2或x＜－1}B．{x|－1＜x＜2}C．{x|－2＜x＜1}D．{x|x＞1或x＜－2}答案：A2．设集合A＝{x|0x2}，B＝{x|(x＋2)(x－1)≤0}，则A∩B＝()A．∅B．{x|1≤x2}C．{x|0x≤1}D．{x|0x2}答案：C3．已知集合A＝{x|x2x＋2}，B＝{x|xa}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞)答案：C4．若不等式ax2－x＋a0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为()A．a－12或a12B．a12或a0C．a12D．－12a12答案：C5．在R上定义运算a*b＝(a＋1)b，若存在x∈[1，2]使不等式(m－x)*(m＋x)4成立，则实数m的取值范围为()A．(－2，2)B．(－1，2)C．(－3，2)D．(1，2)解析：令g(x)＝(m－x)*(m＋x)＝[(m－x)＋1]·(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，因为∃x∈[1，2]，g(x)4，即m2＋mx2－x＋4，也就是m2＋m(x2－x＋4)max，当x∈[1，2]时，x2－x＋4在x＝2处取到最大值为6，所以m2＋m6解得－3m2.答案：C6．若两个正实数x，y满足2x＋1y＝1，且不等式x＋2y－m2－2m0有解，则实数m的取值范围为()A．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C．(－2，4)D．(－4，2)解析：x＋2y＝(x＋2y)2x＋1y＝4＋4yx＋xy≥4＋24＝8，当且仅当y＝2，x＝4等号成立，因为x＋2ym2＋2m有解，则m2＋2m8，解得实数m的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．答案：B7．若0a1，则不等式(a－x)x－1a0的解集是________________．解析：原不等式即(x－a)x－1a0，由0a1，得a1a，所以ax1a.答案：xax1a8．若不等式ax2＋bx＋20的解集为x－12x13，则不等式2x2＋bx＋a0的解集是________________．解析：由题意，知－12和13是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a0，所以－12＋13＝－ba，－12×13＝2a，解得a＝－12，b＝－2.则不等式2x2＋bx＋a0，即2x2－2x－120，其解集为{x|－2x3}．答案：{x|－2x3}9．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集是x|x－2，或x－12，则ax2－bx＋c0的解集为______．解析：由题意，关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集是x|x－2，或x－12，则a0，－2＋－12＝－ba，－2×－12＝ca，解得b＝52a，c＝a，所以不等式ax2－bx＋c0，即为ax2－52ax＋a＝ax2－52x＋10，即x2－52x＋10，即(x－2)x－120，解得12x2，即不等式ax2－bx＋c0的解集为x|12x2.答案：x|12x210．已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|(x－m＋1)(x－m－1)≥0}，(1)当m＝0时，求A∩B；(2)若p：x2－2x－3＜0，q：(x－m＋1)(x－m－1)≥0，且q是p是必要不充分条件，求实数m的取值范围．解析：(1)由题意知，A＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，当m＝0时，B＝{x|(x＋1)(x－1)≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．(2)p：(－1，3)，而q：(－∞，m－1]∪[m＋1，＋∞)，又q是p的必要不充分条件，即p⇒q，所以m＋1≤－1或m－1≥3⇒m≥4或m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]∪[4，＋∞)．