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专题三立体几何初步第13讲平行关系1．直线与平面平行的判定与性质判定项目定义定理性质图形条件______________，________，________________，________，________结论a∥αb∥α______答案：a∩α＝∅a⊂αb⊄αb∥aa∥αa⊂βα∩β＝ba∥b2.面面平行的判定与性质判定项目定义定理性质图形条件__________⊂____，⊂____，________________________α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α答案：α∩β＝∅aβbβa∩b＝P，a∥α，b∥αα∥βα∩γ＝a，β∩γ＝b1．直线与平面平行的判定与性质正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.证明：法一：如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.因为正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，所以AE＝BD.又AP＝DQ，所以PE＝QB，又PM∥AB∥QN，所以PMAB＝PEAE＝QBBD，QNDC＝BQBD，所以PMAB＝QNDC，所以PMQN，即四边形PMNQ为平行四边形，所以PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，所以PQ∥平面BCE.法二：如图所示，作PH∥EB交AB于H，连接HQ，则AHHB＝APPE，因为AE＝BD，AP＝DQ，所以PE＝BQ，所以AHHB＝APPE＝DQBQ，所以HQ∥AD，即HQ∥BC.又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B，所以平面PHQ∥平面BCE，而PQ⊂平面PHQ，所以PQ∥平面BCE.剖析：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．平面与平面平行的判定与性质如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D、P分别是棱AB，A1B1的中点，求证：(1)AC1∥平面B1CD；(2)平面APC1∥平面B1CD.证明：(1)设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BC1.因为四边形BCC1B1为平行四边形，所以O为B1C中点，又D是AB的中点，所以OD是三角形ABC1的中位线，则OD∥AC1，又因为AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.(2)因为P为线段A1B1的中点，点D是AB的中点，所以AD∥B1P且AD＝B1P，则四边形ADB1P为平面四边形，所以AP∥DB1，又因为AP⊄平面B1CD，DB1⊂平面B1CD，所以AP∥平面B1CD.又AC1∥平面B1CD，AC1∩AP＝A，且AC1⊂平面APC1，AP⊂平面APC1，所以平面APC1∥平面B1CD.剖析：证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．3．平行关系的综合应用如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于点E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.解：如图所示，在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，所以四边形FEGA为平行四边形，所以FE∥AG.又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.所以F即为所求的点．又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.设PA＝x则PC＝2a2＋x2，由PB·BC＝BE·PC，得a2＋x2·a＝2a2＋x2·63a，所以x＝a，即PA＝a，所以PC＝3a.又CE＝a2－63a2＝33a，所以PEPC＝23，所以GECD＝PEPC＝23，即GE＝23CD＝23a，所以AF＝23a.即AF＝23AB.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点．剖析：利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．1．已知l，m为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若l∥α，m⊂α，则l∥mB．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥mD．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m答案：D2．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α答案：D3．已知m，n是空间中的两条不同的直线，α，β是空间中的两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若m∥n，m∥α，则n∥α.B．若α∥β，m∥α，则m∥β.C．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α.D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β.答案：D4．已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0解析：①中，两平面也可能相交，故①错误；②中，l与m也可能异面，故②错误；③中，易知l⊂β，又l∥γ，β∩γ＝m，所以由线面平行的性质定理知l∥m，同理l∥n，所以m∥n，故③正确．答案：C5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是棱A1D1上的动点．下列说法正确的是()A．对任意动点F，在平面ADD1A1内不存在与平面CBF平行的直线B．对任意动点F，在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线C．当点F从A1运动到D1的过程中，二面角F-BC-A的大小不变D．当点F从A1运动到D1的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变大解析：因为AD在平面ADD1A1内，且平行平面CBF，故A错误；平面CBF即平面A1D1CB，又平面A1D1CB与平面ABCD斜相交，所以在平面ABCD内不存在与平面CBF垂直的直线，故B错误；平面CBF即平面A1D1CB，平面A1D1CB与平面ABCD是确定平面，所以二面角不改变，故C正确；平面CBF即平面A1D1CB，点D到平面A1D1CB的距离为定值，故D错误．答案：C6．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是________．解析：由题意知线与面垂直，且与线也垂直．则线与面的位置关系为b∥α或b⊂α.答案：b∥α或b⊂α7．(教材习题改编)已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列说法：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③α与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．答案：②8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为____．解析：如图所示，连接AD1，AB1，由于PQ∥平面AA1B1B，PQ在平面AB1D1内，且平面AA1B1B∩平面AB1D1＝AB1，由线面平行的性质定理可得PQ∥AB1，点P是平面AA1D1D的中心，则点P是直线AD1的中点，故PQ为△AB1D1的中位线，故PQ＝12AB1＝22.答案：229．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B.证明：如图所示，连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，所以MN∥D1C.因为D1C∥A1B，所以MN∥A1B.同理可证，MP∥C1B.而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内，所以平面MNP∥平面A1C1B.10．如图所示，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD，若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由．(1)证明：由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F，故GF∥AC，因为GF⊄平面ABC，所以GF∥平面ABC.(2)解：线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC中点．理由如下：由点G，H分别为CE，CB中点可得：GH∥EB∥AD.因为GH⊄平面ACD，所以GH∥平面ACD，由(1)可知，GF∥AC，所以GF∥平面ACD.且GF∩GH＝G，故平面GFH∥平面ACD.