2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题三 立体几何初步 第11讲 空间几何体的表面积

专题三立体几何初步第11讲空间几何体的表面积与体积1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是________________，表面积是侧面积与底面面积之和．答案：所有侧面的面积之和2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式项目圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝____S圆锥侧＝____S圆台侧＝______答案：2πrlπrlπ(r1＋r2)l3．柱、锥、台和球的表面积和体积几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝____锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝____V＝43πR3答案：Sh4πR24.常用结论(1)与体积有关的几个结论．①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．(2)几个与球有关的切、接常用结论．a．正方体的棱长为a，球的半径为R：①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1．求空间几何体的表面积某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为()A．92＋14πB．82＋14πC．92＋24πD．82＋24π解析：由几何体的三视图，知该几何体的下半部分是长方体，上半部分是底面半径为2，高为5的圆柱的一半，长方体中EH＝4，HG＝4，GK＝5.所以长方体的表面积(去掉一个上底面)为2×(4×4＋4×5)＋4×5＝92.半圆柱的两个底面积为π×22＝4π，半圆柱的侧面积为π×2×5＝10π，所以整个组合体的表面积为92＋4π＋10π＝92＋14π.答案：A剖析：空间几何体表面积的求法：(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．2．求空间几何体的体积(1)如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()A．43B．4C．23D．2(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A.283πB．4πC.263πD．6π解析：(1)由三视图可知此几何体为四棱锥，高为3.所以V＝13Sh＝13×12×23×2×3＝23.(2)由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝283π.答案：(1)C(2)A3．与球有关的切、接问题如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A.22B．1C.2D.3解析：由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为△ABC所在圆面的直径，所以∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点．设正方形BCC1B1的边长为x，Rt△OMC1中，OM＝x2，MC1＝x2，OC1＝R＝1(R为球的半径)，所以x22＋x22＝1，即x＝2，则AB＝AC＝1，所以S矩形ABB1A1＝2×1＝2.答案：C剖析：空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．1．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为a，那么这个几何体的体积为()A.16a3B.13a3C.12a3D．a3答案：A2．如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于()A．15πB．18πC．21πD．24π答案：C3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()A.π3B.π4C.π2D．π答案：D4．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积和为()A．2＋22B．4＋2C．3D．4解析：由几何体的三视图可知该几何体如图所示，此四棱锥的三个侧面ABC，ACD，ABE为直角三角形．故S＝12×2×2＋12×1×22＋12×2×2＝4＋2.答案：B5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A．4B．6C．8D．12解析：由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S-ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．∠DAB＝90°，所以V＝13SA×12(AB＋CD)×AD＝13×2×12(2＋4)×2＝4.答案：A6．圆柱的体积为34π，底面半径为32，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为________．解析：设圆柱的高为h，因为圆柱体积为34π，底面半径为32，所以π×322×h＝34π，h＝1，设球半径为R，则(2R)2＝(3)2＋12，4R2＝4，可得R＝1，所以球的体积为43πR3＝43π.答案：43π7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，E为PD上一点，且PE＝2ED.设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．解析：因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，E为PD上一点，且PE＝2ED.设P到平面ACD的距离为h，则E到平面ACD的距离为h3，设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则V2＝VP-ABC＝VP-ACD＝13×S△ACD×h，V1＝VP-ACE＝VP-ACD－VE-ACD＝13S△ACD×h－13S△ACD·h3＝23(13×S△ACD×h)＝23V2.所以V1∶V2＝2∶3.答案：2∶38．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AS＝AB＝1，BC＝3，则球O的表面积为________．解析：将四面体S-ABC补成一个长方体，长宽高分别为1，1，3，因此球心O为长方体对角线中点，直径为对角线长1＋1＋3＝5，从而球O的表面积为4π×522＝5π.答案：5π9．如图所示，半径为R的半圆内(其中∠BAC＝30°)的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积及体积．解：如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，又∠BAC＝30°，AB＝2R，所以AC＝3R，BC＝R，CO1＝32R，所以S圆锥AO1侧＝π×32R×3R＝32πR2，S圆锥BO1侧＝π×32R×R＝32πR2，所以S几何体＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝11＋32πR2，所以旋转所得到的几何体的表面积为11＋32πR2.又V球＝43πR3，V圆锥AO1＝13·AO1·π·CO21＝14πR2·AO1，V圆锥BO1＝13BO1·π·CO21＝14πR2·BO1，故V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝56πR3.10．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正(主)视图和侧(左)视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正(主)视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×12×2×2×2＝2843(cm3)．