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专题三立体几何初步第10讲空间几何体的结构、三视图和直观图1．空间几何体的结构特征(1)多面体．①棱柱的侧棱都_________，上、下底面是_______的多边形．②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是________多边形．(2)旋转体．①圆柱可以由______绕其一边所在直线旋转得到．②圆锥可以由直角三角形绕其____________所在直线旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕____________所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．④球可以由半圆或圆绕_______所在直线旋转得到．答案：(1)平行且相等全等相似(2)矩形直角边直角腰直径2．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是____________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是________________，三视图包括____________、____________、____________．答案：正投影完全相同的正视图侧视图俯视图3．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用______________画法，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面____________．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别____________坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____________，平行于y轴的线段长度在直观图中变为__________________．答案：斜二测(1)垂直(2)平行于不变原来的一半4．常用结论(1)常见旋转体的三视图．①球的三视图都是半径相等的圆．②水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．③水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．④水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．(2)斜二测画法中的“三变”与“三不变”．“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.1．空间几何体的结构特征给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④剖析：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．2．空间几何体的三视图(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱(2)已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：(1)由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示，则这个几何体是三棱柱，故选B.(2)由正视图和俯视图可知，则该几何体P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，其直观图如图所示，由三视图知识知，其侧视图如A所示，故选A.答案：(1)B(2)A剖析：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．3．空间几何体的直观图如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形解析：如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2cm.所以OC＝OD2＋CD2＝（42）2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，所以四边形OABC是菱形．答案：C剖析：用斜二测画法画直观图的技巧：在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．1．如图所示，三棱台ABC-A1B1C1中，沿面A1BC截去三棱锥A1-ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱台D．四棱台答案：B2．已知三棱柱ABC-A1B1C1的高为2，底面三角形的边长分别为3，4，5.若球O内切于三棱柱ABC-A1B1C1，其正视图和俯视图如图所示，则其左视图是()答案：D3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1B.2C.3D．2答案：C4．如图，P为正方体ABCD-A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是()A．①②③④B．①③C．①④D．②④答案：C5．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案：B6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是()解析：由题得几何体原图是如图所示的三棱锥A-BCD，所以这个几何体的直观图是C.答案：C7．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为________．解析：观察三视图，可得直观图如图所示．该三棱锥ABCD的底面BCD是直角三角形，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，侧面ABC，ABD是直角三角形；由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，侧面ACD也是直角三角形．答案：48．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为________．解析：原图形是上底为1，下底为1＋2，高为2的直角梯形．所以S原＝（1＋1＋2）2×2＝2＋2.答案：2＋29．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面当中最大面的面积是________．解析：由三视图可知，该四面体为D-BD1C1(图略)，放在正方体中，由直观图可知，面积最大的面为△BDC1，在正三角形BDC1中，BD＝22，所以其面积S＝12×(22)2×32＝23.答案：2310．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．解：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图如下图．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝3a，AD是正六棱锥的高，则AD＝3a，所以该平面图形(侧视图)的面积为S＝12×3a×3a＝32a2.